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퍼즐 확대 과제에 대한 초등학교 6학년의 협력적 수학 문제해결 특징 탐색
21c를 살아갈 미래 인재를 위한 핵심 역량 중 하나로 협력적 문제해결력이 강조되는 바, 본 연구는 초등학교 6학년 학생들의 협력적 수학 문제해결 과정의 특징을 분석하고 그 결과 에 기초하여 협력적 수학 문제해결 지도를 위한 교수학적 시사점을 얻는 것을 목적으로 한 다. 이를 위해 3가지 유형의 4인 모둠에게 퍼즐 확대 과제를 제시하고 그들의 협력적 문제해 결 과정에 나타난 특징을 분석함으로써 몇 가지 결과를 얻을 수 있었다. 서로 다른 사고 수 준의 학생들이 협력적 수학 문제해결 과정에서 모둠 내 상보적인 역할을 통해 상호 사고를 발전시킬 수 있었고, 협력적 수학 문제해결에서 학생들이 사용하는 인지적 기능은 다소 제한 적이었으나 사회적 기능을 활용하여 이를 보완하였다. 이와 같은 연구 결과에 기초하여, 협 력적 수학 문제해결 지도를 위한 교수학적 시사점으로 적합한 모둠 구성방식과 교사의 개입 선택의 중요성, 다양한 인지기능의 활용에 대한 지도의 필요성 등을 도출하였다. I. 서론 NCTM(1980)의 권고 이래 수학교육에서 문제 해결이 강조된 지도 40년이 되어 간다. 오랜 시 간이 지났음에도 문제해결은 여전히 수학교육에 서 중요한 목표이며, 특히 최근에는 사회가 복잡 하고 다원화됨에 따라 미래를 위한 핵심 역량으 로 협업 능력이 강조되면서 협력적 문제해결이 중요한 키워드로 떠오르고 있다. 조지민, 동효관, 임해미 외(2012)에 의하면 PISA 2015에서 협력적 문제해결력 평가를 도입한 것도 이와 같은 맥락 에 있다. 사실 수학교육에서 협력을 통한 학습에 관한 연구 및 논의는 오래전부터 있어왔다. 일찍이 Vygotsky(1978)는 인식의 발달에 있어서 사회적 상호작용의 근본적인 역할을 강조하였다. 인간의 인지 발달에 있어 사회적 상호작용의 역할을 강 조한 것이다. Schoenfeld(1985) 역시 같은 맥락에 서 문제해결의 한 요소인 통제력 발달에 미치는 상호작용의 역할을 다루었다. 협력적 문제해결에 의 참여가 타인의 도전에 대해 자신의 아이디어 를 검토하고 타인의 실수를 주의 깊게 보는 능 력을 시작하는 환경을 조성한다는 것이다. Davidson(1990)은 소집단 활동이 수학 학습에 대 한 사회적 지원 메커니즘을 제공하고, 모든 학생 에게 수학적 성공의 기회를 제공한다고 설명한 다. 또한 수학 문제는 객관적으로 증명할 수 있 는 해결책을 가지고 있다는 점에서 소집단 토론 에 이상적으로 적합하다고 주장한다. 수학 지도 * 서울구의초등학교 교사, danmizz@sen.go.kr (제1 저자) ** 서울교육대학교 교수, hwchang@snue.ac.kr (교신저자) - 103 - 에 주로 적용되는 협동학습 모형으로 STAD, TAI, TGT, LT 등이 있으며(이동원, 1991), 이와 같은 협동학습 모형을 적용한 수업의 효과성을 보고하는 국내 연구도 다수 있다(김희정, 김응환, 2006; 안종수, 2018; 양경화, 강옥려, 2013). 특히 최근 10년간 수학적 의사소통과 접목하여 소집 단 형태의 수업을 적용한 많은 현장 연구를 볼 수 있다(도주원, 2018; 오영열, 오태욱, 2009 등). 이와 같은 국내외 선행 연구로부터 수학 교수 ㆍ학습 방법으로서의 협력적 문제해결의 가치나 효과, 중요성 등에 대해서는 어느 정도 동의가 이 루어진 것으로 보이나, 교육적 지향점으로서의 협 력적 문제해결이나 협력적 문제해결력 신장을 위 한 연구는 매우 드문 실정이다. 이는 문제해결이 수학 학습의 과정이자 중요한 수학교육의 목표로 여겨지며 활발히 연구되어 온 것과 대비된다. OECD에서는 협력적 문제해결력을 미래 사회 의 중요한 소양으로 간주하고 이를 평가하고자 하며(조지민 외, 2012), 이는 곧 협력적 문제해결 이 하나의 중요한 교육적 지향점임을 나타낸다. 이처럼 협력적 문제해결이 교육 목표로 설정될 때, 이에 보조를 맞추어 수학교육에서도 협력적 수학 문제해결을 정의하고 그 특성과 요소를 살 펴보는 것은 중요한 의의를 지닐 것이다. 따라서 본고에서는 여러 선행 연구에 대한 문 헌 분석을 통해 협력적 수학 문제해결의 의미와 핵심요소에 대해 탐구하고, 이를 바탕으로 초등 학교 6학년 학생들에게 협력을 요구하는 퍼즐 과제를 제시하여 연구 참여자가 해결 과정에서 보이는 협력적 수학 문제해결의 특징을 탐색하 고 교수학적 시사점을 얻고자 한다. 협력적 문제해결 관련 대표적인 연구로 PISA 2015(Program for International Student Assessment 2015)와 ATC21S(Assessment & Teaching of 21st century skills)를 들 수 있다. 먼저 PISA 2015에서 협력적 문제해결의 정의는 다음과 같다. 둘 또는 그 이상의 에이전트(가상의 인물)가 문 제해결을 위해 노력하는 과정에서 서로의 이해 와 노력을 공유하고, 그러한 해결책에 도달하기 위한 지식, 기능, 노력을 모아 문제를 해결하려 시도하는 과정에 한 개인이 효과적으로 참여하 는 능력(OECD, 2017b) 조지민 외(2012)는 위의 정의에 대해 '한 개인 이 효과적으로 참여하는 능력'은 곧 개인, 집단, 조직 수준에서 평가될 수 있는 능력으로서, 협력 을 통해 문제가 해결되려면 집단 구성원들이 서 로 협력하고 개인적인 성공보다 집단의 성공을 우선시하는 능력이 요구된다고 설명한다. 협력적 문제해결력은 협력 구성 요소에 개인적인 문제 해결에서 발견되는 인지적 구성 요소를 통합하 는 복잡한 것으로, 추가적인 인지적 기능과 사회 적 기능이 요구되는 것이라고 말한다. ATC21S에서는 협력적 문제해결을 '현재의 상 태를 원하는 목표의 상태로 전환하기 위해 한 쌍 또는 소규모 그룹이 여러 단계를 거쳐 실행하는 공동의 활동(Hesse et al., 2015)'으로 정의한다. 박혜영, 임해미(2014)는 이에 대해 우수한 개 II. 이론적 배경 1. 협력적 문제해결 인의 협업이 반드시 효과적인 문제해결로 이어 지는 것은 아니며, 성공적인 협업을 위해서는 구 성원 간의 이해를 최적화하기 위해 지식과 의견 을 원활하게 의사소통하는 능력과 협업 과정에 대한 구성원 간의 동의 및 적극적 기여, 그리고 참여가 요구된다고 설명한다. 이와 같은 선행 연구로부터 추출 가능한 협력 적 문제해결의 특징은 다음과 같다. 첫째, 두 사 람 이상으로 구성된 집단이 필요하며, 둘째, '문 - 104 - 제'로 표현되는 공동의 목표가 있어야 한다. 셋째, 협력적 문제해결력은 인지적 기능 및 사회적 기 능이 발휘되는 개인의 능력이며 측정 가능하다. 나아가 교육적 차원에서 협력적 문제해결을 위한 교수, 학습, 평가를 위한 교사의 밀도 있는 계획의 필요성은 여러 연구에서 주목되어 왔다 (Hesse et al., 2015; Johnson & Johnson, 1990 등). Johnson & Johnson(1990)은 단순히 학생들을 그룹에 배치하고 그들에게 함께 일하라고 말하 는 것 그 자체가 협동을 보장하지는 못한다고 말한다. ATC21S의 주축을 이루는 Hesse et al.(2015)은 사람마다 협업 능력에 차이가 있으며 이를 효과적으로 사용할 수 있음에도 교실 환경 에서 구체적으로 가르치고 평가할 내용과 방법 이 부재하기 때문에 협력적 문제해결력을 효과 적으로 사용할 가능성을 유발하지 못하고 있음 을 지적하였다. 한편 협력적 문제해결을 평가 및 분석하는 문 제는 또 하나의 연구 주제이다. 광범위하게 실시 된 3가지 연구 결과를 고찰하고자 한다. 먼저 PISA 2015(OECD, 2013, 2017a, 2017b)에 서는 공유된 이해 수립하고 유지하기, 문제해결 을 위해 적절하게 행동하기, 행동 조직하고 유지 하기와 같은 협력적 문제해결의 핵심 역량을 제 시한다. < 표 II-1 > 에는 문제해결의 4단계에 대해 각 역량이 어떻게 발휘될 수 있는지가 제시되어 있다. 이로부터 12개의 협력적 문제해결의 평가 요소가 도출된다. PISA 2015는 이러한 요소들을 측정하고자, 컴퓨 터의 가상 인물과 학생이 협력적 대화를 통해 문 제를 해결하는 상황을 만든다. 그들이 해결해야 하는 과제는 '젠다(Xandar)', '텃밭 가꾸기(The garden)' 등과 같은 주제를 나타내는 단위문항(unit)으로 제 시가 되는데(OECD, 2017a), OECD(2015)에서는 '방 문(The visit)'이라는 단위문항을 예로 학생들이 어 떤 문제를 어떠한 경로로 풀게 되는지 설명한다. 단위문항은 전략에 동의하기, 선호를 고려하여 합 의에 도달하기 등과 같은 형태로 3~4개의 하위 과 제로 이루어져 있다(조성민, 김현정, 이소연, 구남 욱, 이인화, 2018). 하위 과제는 다시 하위 문항으 로 세분화되는데, 이는 문제해결의 흐름에 따른 구 조화로 보인다. 하위 문항은 객관식으로 구성되어 있어 학생들로 하여금 해당 상황에서 취할 반응을 선택하도록 한다. 각 하위 문항에 대한 적합한 반 응은 < 표 II-1 > 에 제시된 12가지 평가요소 중 어느 하나에 대응하는 것으로 각각의 요소를 이와 같이 개별적으로 측정한다. < 표 II-1 > PISA 2015의 협력적 문제해결력 평가틀(조지민 외, 2012) (1) 공유된 이해 수립하 고 유지하기 (A) 탐색과 이해 (B) 표현과 형식화 (C) 계획 수립과 실행 (D) 모니터 링과 반성 (A1) 팀 구성원의 관심과 능력 발견하기 (B1) 공유된 표현을 구상 하고 문제의 의미를 협상하기 (C1) 팀 구 성원들과 실행할 수 있는 행동에 관해 의사소 통하기 (D1) 공유된 이해를 검토하고 수정하기 (2) 문제해결 을 위해 적 절하게 행동 하기 (A2) 목표에 맞춰 문제를 해결하기 위 한 협력적상 호 작용의 유 형 발견하기 (B2) 완료 해야 하는 과제를 확인하고 기술하기 (C2) 계획 수립하기 (3) 행동 조 직하고 유지 하기 (A3) 문제해 결을 위한 역 할 이해하기 (B3) 역할과 팀 조직 기 술하기(의사 소통프로토콜/ 참여의 규칙) (C3) 참여규 칙에 따르기 ex) 다른 구성원에게 과제 수행을 격려하기 (D2) 행동의 결과 검토 하고 문제 해결의 성공 여부를 평가하기 (D3) 팀 조직 과 역할에 대해 모니터 링, 피드백 제공, 정정 하기 다음으로, ATC21S의 평가틀은 협력적 문제해 결력을 이루고 있는 기능별로 구성되어 사회적 기능과 인지적 기능을 구별한다. 사회적 기능에 는 참여, 관점 취하기, 사회적 규칙과 같은 세부 - 105 - 기능이 있으며, 인지적 기능에는 과제 규칙과 지 식형성과 같은 세부기능이 있다. 각 세부기능은 [그림 II-1]과 같은 몇 가지의 하위 요소로 구성 되며, 이러한 요소들은 각각의 기능을 판별하는 지표가 된다. 과제를 해결하는 데 있어 학생들의 반응은 각 기능을 이루고 있는 요소에 의해 판별되며 이는 낮음, 중간, 높음과 같은 척도에 의해 기술된다. 마지막으로, 교실에서 일어나는 대화를 체계적 [그림 II-1] ATC21S의 협력적 문제해결력 평가틀(Hesse et. al., 2015의 도식화) ATC21S은 교실 내에서 측정 가능하고 지도 가능한 협력적 문제해결에 관심을 두고 있다 (Hesse et al., 2015). 그래서인지 ATC21S의 평가 방식은 PISA 2015와 비교하여 상대적으로 더 자 연스럽고 실제적인 상황 속에서 이루어진다. 학 생들이 팀을 이루거나 혹은 실제 학생과 컴퓨터 속 가상 인물이 팀을 이루며, 과제는 단일 소과 제 형태로 제시되는데, 그 예는 다음과 같다. 'A학생과 B학생은 화면에서 보이는 웃고 있는 삐에로 기계'에 모두 12개의 공을 짝과 함께 넣 게 되는데, 그 과정에서 삐에로 기계가 다른 학 생과 같은 방식으로 움직이는지 그렇지 않은지 의 여부를 판단해야 한다. 이 문제를 해결하기 위해 A학생과 B학생은 삐에로 기계에서 나타 나는 패턴을 찾고, 해결 과정에 대한 자료와 정 보를 공유하며, 이에 근거하여 규칙과 결론을 도출해야 한다(박혜영, 임해미, 2014). 으로 분석한 Hennessy et al.(2016)의 SEDA (Schema for Educational Dialogue Analysis)는 협 력적 문제해결을 질적으로 평가하고 그 과정을 탐색하기 위한 분석틀을 만드는 기초가 될 수 있다. Hennessy et al.(2016)는 지식의 지속적인 공동구축이 타인의 관점에 순응하고, 대조적인 생각을 공유, 비평, 점진적으로 조정함으로써 이 루어진다는 것에 주목하였고, 학생-교사뿐 아니 라 학생 간 대화의 교육적 가치에 대한 구체적 인 증거가 있음에도 불구하고 이들의 형태와 기 능을 이해할 수 있는 분석체계가 부족하기에 SEDA를 개발하였다고 하였다. 이는 협력적 문 제해결 수업의 목표와 이러한 수업을 통해 교사 가 기대하는 수업 활동과 같은 맥락에 있다. SEDA는 대화의 상호작용에 기여하는 단위인 CA(Communicative Acts)를 분석단위로 삼는데, 33개의 유형으로 나타난다. 이는 < 표 II-2 > 와 같 이 8개의 클러스터(Cluster)로 분류된다. 이상의 선행연구로부터 PISA 2015, ATC21S은 학생 개인의 협력적 문제해결력 평가라는 공통 점을 갖지만, 평가틀의 구성방식이나 평가요소, 과제의 형태, 평가 방법 등이 상이함을 확인할 수 있다. 이는 협력적 문제해결을 위한 평가 목 적의 차이에서 비롯된 것으로 해석된다. PISA 2015는 세계단위의 대규모로 진행되는 평가로, 참가국 학생들의 협력적 문제해결력의 정도나 특성, 국가별 순위 등을 밝히고자 하는 데 목적 이 있다. 반면 ATC 21S는 실제 교실 환경에서 협력적 문제해결력을 가르치고 측정하려는 목적 이 상대적으로 두드러진다. 본 연구는 개인보다 모둠의 협력적 문제해결 과정 탐색에 초점이 있 다. 그렇다면 위의 두 가지 틀과 차별화될 필요 - 106 - 가 있고 이를 위해 SEDA를 과제의 형태나 수업 상황에 맞게 수정ㆍ적용한다면 효과적일 것으로 기대된다. < 표 II-2 > SEDA(Hennessy et al., 2016) (1) 정교함 또는 추론으로의 초대(I) I1. 타인의 공헌에 대한 설명또는정당성요청하기 I2. 타인의 공헌이나 견해에 대한 평가, 동의 혹은 비 동의, 정교화 I3. 타인의 공헌에 기초하여 가능성 있는 생각을 도입 I4. 설명 또는 정당화를 위한 요청 I5. 가능성 있는 생각이나 예측으로의 초대 I6. 정교함 또는 명확화를 요구 (2) 추론을 명확화 하기(R) R1. 타인의 공헌을 설명하거나 정당화하기 R2. 자신의 공헌을 설명하거나 정당화하기 R3. 타인의 공헌에기초하여 추측하거나 예측하기 R4. 추측하거나 예측하기 (3) 아이디어 세우기(B) B1. 타인의 공헌을 명확화하고 기초로 삼기 B2. 자신의 공헌에 관해 명확화하고 정교화 하기 (4) 아이디어 표현 또는 초대(E) E1. 의견, 신념, 아이디어로 초대 E2. 다른 관련된 공헌 만들기 (5) 관점 취하기 및 조정하기(P) P1. 아이디어 종합하기 P2. 대안적인 관점을 비교하고 평가하기 P3. 해결책 제안하기 P4. 입장의 변화 인정하기 P5. 관점에 도전하기 P6. 동의 또는 비동의 등의 의견을 언급하기 (6) 대화 또는 행동에 대한 반추(RD) RD1. 대화에 대한 대화 RD2. 학습과정, 목적, 가치에 관한 반추 RD3. 학습과정, 목적, 가치에 대한 반추로의 초대 (7) 연결하기(C) C1. 재언급 C2. 학습 궤도를 분명하게 하기 C3. 광범위한 상황과 학습을 연결하기 C4. 수업 이상의 연구로 초대하기 (8) 대화 또는 행동의 방향 지시하기(G) G1. 학생과 학생과의 대화 북돋우기 G2. 필요한 활동이나 행동 제안하기 G3. 권위 있는 견해 소개하기 G4. 비형식적인 피드백 제공하기 G5. 초점 맞추기 G6. 생각할 시간 허용하기 2. 협력적 수학 문제해결 본 연구의 초점은 수학 교과의 교수․학습 상 황에서 협력적 문제해결이다. 박혜영, 임해미 (2014)는 PISA와 ATC21S의 협력적 문제해결력 평가에 사용된 문제 상황의 공통점과 차이점에 대해 다음과 같이 주목하였다. 양자의 문제 상황은 모두 하나 이상의 복합적 지식의 활용이 요구된다는 공통된 특징이 있다. … PISA의 경우는 교과 지식이 직접적으로 관 련되지 않는 실생활 문제 상황을 반영한 과제 특징을 보였다. … ATC 21S의 경우는 실생활 문제 상황의 직접적 제시보다는 배운 지식의 복합적 활용과 응용력 평가에 더 초점을 둔 과 제 경향이 있었다. 이에 본 연구에서는 상대적으로 교과 지식에 초점을 맞추고 있는 ATC21S의 과제 경향에 따 라, 협력적 수학 문제해결을 '두 사람 이상으로 구성된 집단에서 수학 문제해결이라는 공동의 목표를 달성하기 위해 수학적 아이디어를 포함 한 이해, 노력을 공유하고 협력적으로 지식, 기 능, 노력을 모아 문제에 적극적으로 접근하여 협 업하는 행위'로 정의하고자 한다. 이때, 협력적 수학 문제로 표현되는 과제는 수학 지식의 복합 적 활용과 응용력 평가에 초점을 둔 것으로 수 업의 목표에 따라 열린 과제, 닫힌 과제 등 다양 한 형태의 과제를 포괄하기로 한다. 앞서 언급한 협력적 문제해결을 위한 교수, 학 습, 평가를 위한 교사의 밀도 있는 구체적인 계 획의 필요성은 협력적 수학 문제해결에서도 마 찬가지다. 수학 수업에서 협동학습을 설계할 때 협동집단의 구조나 학생 및 그룹 간의 상호작용, 학습 과제와 교사의 역할, 평가 방법 등의 다양 한 측면을 고려해야 한다(Leikin & Zaslavsky, 1999). 김남균, 이기석(1999)은 수학과 협동학습 에서 협동적 문제해결을 정확히 평가하기 위해 - 107 - 서는 좀 더 형식적인 방법이 필요하며, 적합한 문제 선택과 함께 예상된 협동적 문제해결 행동 을 정하여 평가하는 것이 중요하다고 주장한다. 한편 서종진(2002)은 수학 문제해결을 위한 소 그룹 활동 과정에서 구성원 간의 서로 다른 의 견으로 일어나는 충돌을 해결하려는 시도가 다 른 문제를 해결하는 방법적인 틀을 구성하게 되 고 문제의 재개념화 기회를 제공하여 줄 수 있 다고 한다. Kazemi(1998)는 협동학습에서 학생 개개인의 책임과 함께 수학적 논의를 통한 합의 의 과정을 이끌어야 한다고 한다. 이들 선행 연구로부터 '협력적' 수학 문제해결 에 적합한 과제가 수학 문제해결 과제의 특성 외에 추가적으로 갖추어야 할 조건으로 다음을 추출할 수 있다. 첫째, 과제 해결에 있어 개인의 책무성이 부과되어야 한다. 둘째, 모둠 내에서 서로 다른 의견을 확인함으로써 인지적 갈등을 유발시킬 수 있어야 한다. 셋째, 협력을 통해 그 들의 인지적 구조를 한 단계 발전시킬 수 있어 야 한다. 개의 수준별로 분류한 다음, < 표 III-1 > 과 같이 동질집단 두 모둠(모둠 A, 모둠 B)과 이질집단 한 모둠(모둠 C)을 구성하였다. < 표 III-1 > 연구 참여자의 모둠 구성 학생별 성취 수준 모둠 학생 1 학생 2 학생 3 학생 4 모둠 A 높음 높음 높음 높음 모둠 B 보통 보통 보통 보통 비고 동질 집단 모둠 C 보통 낮음 보통 높음 이질 집단 각 연구 참여자의 개인별 특성은 다음과 같다. 높은 성취도의 동질집단 모둠인 A모둠에서, III. 연구 방법 1. 연구 참여자 본 연구에서는 서울 G초등학교 6학년 학급 중, 6학년 1학기 비와 비율 단원을 학습한 1개 학급에서 연구 참여에 동의한 학생 12명을 연구 참여자로 선정하였다. 서울 G초등학교는 서울시 에서 중간 정도의 학업성취를 나타내는 학교이 다. 집단 구성 방법에 따른 협력적 수학 문제해 결과정의 차이를 살펴보고자, 연구 참여자로 선 정된 학생들을 담임 교사의 관찰 평가와 비와 비율 단원의 성취도 평가 결과를 참고하여 세 학생 A-11)은 평소 여러 과목의 과제에 있어 창 의성과 적용력이 우수한 학생으로, 4학년 때 지 역 교육청 수ㆍ과학 영재 대상자로 선발될 만큼 수학적으로도 높은 성취를 나타내는 학생이다. 가끔 지나친 승부욕이나 자신을 내세우고자 하 는 마음으로 친구들과 다툼이 있는 편이다. 학생 A-2는 학원이나 과외 등을 통해 많은 양의 수학 학습을 하는 학생으로 조용하고 꼼꼼한 성격이 다. 학생 A-3은 이성적이고 차분한 성격의 학생 으로, 수학 단원 성취도 평가에서 사소한 실수가 있지만 대체적으로 우수한 성적을 나타내는 학 생이다. 학생 A-4는 친화력이 좋고 듬직한 성격 으로 친구들에게 신뢰를 얻는 편이며 수학 성적 역시 우수한 편이다. 성취도가 보통인 모둠 B 중, 학생 B-1은 수학 을 비롯한 전반적인 과목의 성취가 보통이며, 평 소 말수가 없고 과제 수행 시 최소한의 노력만 을 하는 편으로 학업적인 관심이 높지 않다. 학 생 B-2는 사교적이며 친구들에게 인기가 높은 편이나 때때로 자신감이 없는 모습을 보이기도 하는 학생이다. 평소 수학 개념을 잘 이해하는 1) 학생 A-1은 모둠 A의 학생 4명을 임의로 번호 매겨 1번 학생을 말함. 이후 동일한 방식으로 명명할 것임. - 108 - 것으로 보이나 단원 성취도 평가 점수는 높지 않다. 학생 B-3은 리더십이 있고 열정적이며 자 존심이 센 성격의 학생이다. 평소 학업에 열심히 임하나, 단원 성취도 평가 결과는 '보통'을 나타 낸다. 학생 B-4는 수학과 관련한 사교육을 받고 있지 않으며 단원 성취도는 보통을 나타내지만, 전반적인 수업에 있어 자신의 능력치를 잘 발휘 하고 최선을 다하는 태도로 선생님께 신뢰를 얻 는 학생이다. 이질집단인 모둠 C의 학생 C-1은 학부모님의 교육열이 높은 편으로 성실히 많은 학습량을 소 화해내는 학생이다. 다른 과목에 비해 수학에 대 한 자신감이 다소 부족하고 시험에 대한 부담감 을 느끼는 편으로, 학원을 그만둔 후 수학 성적 이 떨어지는 변화를 보였다. 학생 C-2는 단원 성 취도가 낮으며 다른 과목에 대해서도 비슷한 수 준을 나타낸다. 친구들과의 관계에 있어 배려를 잘하고 사회성이 있는 학생이다. 학생 C-3은 수 학 성취도가 높지는 않으나, 다른 과목에 비해 수학에 대한 관심도가 있고 수학 문제 풀이에 자신감을 가진다. 학생 C-4는 수학을 포함한 전 과목이 고루 우수하며 교우 관계가 좋고 친구들 과 선생님께 신뢰를 받는 모범적인 학생이다. 2. 적용 과제와 지도안 Brousseau(1998)은 교수학적 상황론에 관한 그 의 저서에서 학생들에게 적용할 수 있는 과제로 [그림 III-1]과 같은 퍼즐 과제를 제시한다. 이 과 제는 한 변이 11cm인, 6조각으로 나뉜 정사각형 을, 변의 길이가 4인 곳을 7로 확대한 정사각형 을 만들 것을 요구한다. 학생들이 문제의 원리나 상황을 먼저 생각하고 접근하기보다는 주어진 수만 보고 해결하려는 경향이 높고(박지연, 2015), 두 비 사이의 관계가 정수비로 계산이 간 단한 경우에 정답이 높았다(권미숙, 2008)는 선 - 109 - 행 연구로부터, 4와 7과 같이 정수비가 아닌 비 례적 상황에서 가법적 사고를 선호하는 학생들 이 오류를 범할 것이 예상되는 과제이다. [그림 III-1] Brousseau의퍼즐과제(Brousseau, 1998) 과제에 대한 반응은 개인의 비례추론 능력에 따라 달리 나타날 수 있는데, 이러한 차이는 학 생들에게 인지적 갈등을 유발할 수 있다. 그리고 이들이 의미 있는 협력 활동을 한다면, 모둠원이 서로의 접근 방식을 자극함으로써 인지적 구조 의 변화 가능성을 함의하고 있다. 이 과제가 협력적 수학 문제해결 과제로 적합 하다고 판단했던 또 한 가지의 이유는 각 구성 원에게 퍼즐 한 조각씩을 배당함으로써 개인 탐 구 기회와 함께 과제에 대한 책무성을 부과할 수 있다는 점이었다. 본 연구에서 모둠 구성을 4 인으로 했기 때문에 퍼즐 조각 역시 [그림 III-2] 와 같이 4조각으로 변형하여 적용하였다. [그림 III-2] 연구에 사용한 퍼즐 확대 과제 수업은 약 90분간 연구자 중 1인이 실시하였 으며, 수업 지도안은 < 표 Ⅲ-2 > 와 같다. < 표 III-2 > 퍼즐 확대 과제 수업 지도안 활동 유형 전체 활동 (5′) 수업 단계 활동내용 ► 동기유발 - 퍼즐 조각 정사각형으로 맞추기 A & B ► 문제제시 하기 A & B 개별 활동 (15′) D D C ► 문제 조건 확인 및 분석하기 - 문제 조건 그림에 나타내기 ► 문제해결의 아이디어 떠올리기 - 자신의 퍼즐조각을 확대한 모습 그림 그려보기 - 왜 그렇게 생각했는지 써 보기 ► 문제 해결하기 - 확대된 퍼즐조각 만들어 보기 ► 문제해결 결과 확인하기 - 모둠끼리 퍼즐조각 맞춰보기 < 퍼즐이 잘 맞추어지는 경우 > ► 수학적 정당화하기 - 퍼즐을 확대하는 방법 서술해보기 - 그렇게 생각한 이유 써 보기 모둠 활동 (45′) E < 퍼즐이 잘 맞추어지는 경우 > A&B - 모둠원과 문제 분석 C - 모둠원과 해결책 생성 D E 전체 활동 (15′) 경 외(2014)에서는 비구조화된 과제를 해결함에 있어 수학적으로 정당화하는 활동이 의사결정의 근거로 작용하여 D단계에 포함되어 있지만, 본 연구의 수업 과제는 퍼즐을 맞추어 보는 경험만 으로 문제해결 방법을 선택할 수 있고, 수학적 정당화는 평가와 반성을 통해 할 수 있다고 생 각하여 E 단계에 포함시켰다. 본 수업은 학생들 의 협력적 문제해결의 과정을 살펴보고자 하였 으므로 약 45분간 이루어졌던 모둠 활동에 주안 점을 두었고, 모둠 활동에서의 수업의 흐름은 각 모둠의 활동 내용이나 결과에 따라 A & B, C, D, E의 단계가 순환적이고 비선형적으로 진행되 는 것을 예상하고 기대하였다. 3. 분석틀 본 연구에서는 학생들의 협력적 수학 문제해 결 과정의 특징을 분석하기 위해 SEDA와 PISA 2015와 ATC21S의 협력적 문제해결력 평가틀을 참고하여 < 표 III-3 > 과 같은 분석틀을 구성하였다. 구체적으로, ATC21S의 평가틀과 같이 인지적 - 모둠원과 문제 해결하기 및 결과 확인하기 ► 수학적 정당화하기 - 퍼즐을 확대하는 방법 서술 해보기 - 그렇게 생각한 이유 써 보기 E ► 문제해결 과정 및 결과 공유하기 ► 정리하기 수업 모형은 김민경, 허지연, 박은정(2014)의 문제해결 모형 설계를 재구성한 것으로, 수업 단 계에서 A는 분석단계(Analyze), B는 탐색단계 (Browse), C는 문제해결의 아이디어 생성단계 (CReate), D는 의사결정 단계(Decision-Making), E 는 평가 및 반성 단계(Evaluate)를 뜻한다. 김민 기능과 사회적 기능의 두 가지 측면으로 나누어 설계하였다. 다만 ATC21S의 평가틀에서 다루는 인지적 기능과 사회적 기능의 세부기능들은 주 로 해법이 다양한 문제의 유형에서 발현될 것이 기대되는 요소로 이루어져 있어 본 연구에서 그 대로 이용하는 데는 한계가 있었다. 이에 두 기 능의 세부기능을 교실에서 발생하는 대화 분석 을 위한 체계인 SEDA(Hennessy et al., 2016)의 8 개의 영역을 기능별로 통합·분류하여 인지적 기 능에서 3가지 하위 기능, 사회적 기능에서 2가지 하위 기능으로 재구성하였다. 수업 적용 전, 타 학생들에게 실시한 예비적용 결과를 토대로 세 부기능을 정교화함으로써 타당도를 제고하였다. 인지적 기능의 영역은 이해 공유(CI), 추론 및 정당화(CR), 수학적 과정에 대한 평가 및 반성 - 110 - (CRe)으로 구성된다. 이해 공유(CI)는 SEDA의 영역 중 (1)과 (4)에 해당하는 내용을 수정ㆍ적용 한 것으로 수학적인 추론이나 대화를 이끄는 정 보나 아이디어를 표현하거나 그러한 이해를 공 유하기 위한 말이나 행동에 관한 것이다. SEDA 에서 (5) 관점 취하기 및 조정하기의 한 항목이 었던 '동의 또는 비동의 등을 언급하기'는 학생 들 각자의 입장 표명을 결과적으로 그들이 생각 하는 정보의 교환이나 확인으로 간주할 수 있다 고 판단하여 이해 공유(CI)에 포함시켰다. 관찰 된 학생들의 대화 중에는 수학적 발견이나 새로 운 아이디어를 떠올렸음에도 그것을 정보로 표 현하거나 추론으로 발전시키지 못하고 주저하는 발화가 몇 차례 있었다. 이와 같은 발화는 기존 의 선행 연구에 대응하는 항목이 없었기에 의견 의 정당성에 대해 의심 표현하기(CI5) 항목을 추 가하였다. 추론 및 정당화(CR)는 SEDA에서 (2) 와 (3)에 해당하는 내용을 수정ㆍ적용한 것이다. 이 중 자신의 의견에 관한 동의 이끌어내기 (CR2)의 경우, 선행 연구에는 이러한 항목이 없 었으나 실제 학생들의 반응에서는 자신의 의견 을 관철시키기 위해 자신의 의견에 관한 동의를 이끌어내는 모습이 몇 차례 관찰되었고 이는 초 보적이나마 추론 및 정당화를 위한 기능으로서 작용한다고 판단하여 추가한 항목이다. 수학적 과정에 대한 평가 및 반성(CRe)은 (6)을 과제 상 황에 맞추어 좀 더 구체화 및 세분화하였다. 사회적 기능의 영역은 역할 이해 및 조정(SR), 참여(SP)로 구성된다. PISA 2015에서 행동 조직 하고 유지하기에 관한 내용 중 '역할'과 관련된 것을 역할 이해 및 조정(SR)으로 통합하고, ATC21S의 사회적 기능 중 참여의 증거로 보일 수 있는 행동들을 세분화하여 참여(SP)로 구성하 였다. 과제 수행 격려의 상황도 있지만 그 반대 의 상황도 나타났기에 SP5와 같은 항목을 추가 로 구성하였다. < 표 III-3 > 협력적 수학 문제해결과정의 분석틀 기능 영역 세부 기능 내용 CI1 타인의 의견 이끌어내기 CI2 타인의 의견에 대해 확인하기 CI3 이해 공유 (CI) CI4 타인의 의견에 설명 혹은 정당성 요청하 기 타인의 의견에 관한 평가, 대조, 동의 혹 은 비동의 보이기 CI5 의견의 정당성에 대해 의심표현하기 CI6 문제해결을 진전시킬 수 있는 기여, 제안, 아이디어, 관점, 정보를 제공하기(제3의 가능성으로의 초대) CR1 자신의 추론이나 해결과정에 대해 설명 하거나 정당화하기 인 지 적 기 능 추론 및 정당 화 (CR) CR2 자신의 의견에 관한 동의 이끌어내기 CR3 타인의 추론이나 해결과정에 대해 정당 화하기 CR4 자신의 의견이나 과제를 기초로 추측하 기 CR5 타인의 의견이나 과제를 기초로 추측하 기 CR6 다른 가능성을 추측해보거나 예상하기 CRe1 수학 적 과정 에 대한 평가 및 반성 (CRe) 역할 이해 및 조정 (SR) 사 회 적 기 능 참여 (SP) 자신의 수행 과정, 결과에 관해 확인하거 나 평가하기 CRe2 타인의 수행 과정, 결과에 관해 확인하거 나 평가하기 CRe3 모둠의 수행 결과를 확인 및 평가하기 CRe4 CRe5 수행 단계에 대한 점검 제안하기 CRe6 문제해결 행동의 과정 혹은 결과를 기술 하기 모둠의 의사소통(수학적 측면)에 관해 이 야기하기 SR1 자신과 구성원의 역할 확인하기 SR2 자신과구성원의 역할 행동 제안하기 SR3 자신과 구성원의 역할 행동의 계획 묻기 SP1 상대방의 질문에 간단한 응답하기 SP2 자신의 역할 수행에 도움요청하기 SP3 타인의 역할 수행에 도움주기 SP4 SP5 SP6 입장의 변화를 인정하기 SP7 모둠의 의사소통(팀 조직과 역할 측면)에 관해 이야기하기 과제 수행을 격려하거나 상황을 안심시 키는 등 긍정적 발언 과제 수행을 비난하거나 참여의지를 꺾 는 등의 부정적 발언 - 111 - 3. 자료 수집 및 분석방법 본 연구를 위해 연구자는 수업 전 모둠 A, B, C 각각의 책상 중앙에 녹음기를 배치하였다. 협 력적 문제해결 과정이 일어나는 모둠 활동 단계 (약 45분)의 대화가 녹취의 대상이었고, 녹취된 음성 파일만으로 연구 참여자의 대화나 그 의미 를 명확하게 파악하지 못할 것을 염려하여 모둠 의 활동을 비출 수 있는 위치에 카메라를 함께 설치하여 이들의 활동 과정을 촬영하였다. 수업에 사용된 활동지는 2가지이다. 활동지 1 은 개별 활동지로 문제 이해 및 조건을 분석하 는 것에 도움을 주고, 자신의 아이디어를 표현하 게 함으로써 비례추론에 관한 개인의 사고 수준 을 파악하고자 사용하였다. 활동지 2는 모둠 활 동지로 모둠의 활동이 끝난 후, 이들의 사고가 어떤 방향으로 합의, 변화되었는지를 확인하기 위해 사용하였다. 학생들이 제작한 퍼즐 조각 역 시 활동지와 함께 본 연구를 위한 자료로 수집 하였다. 수업 실시 결과, 모둠 A의 경우 구성원 모두가 스스로 퍼즐 확대 과제를 바르게 해결할 수 있었 고 따라서 사고 수준을 발달시킬 수 있는 협력 과정이 발견되지 않았다. 모둠 C의 경우는 교사 의 개입 없이 문제해결에 성공하지 못하였다. 이 에 따라 협력적 수학 문제해결 수업을 통한 사고 수준 및 변화를 알아보기 위해 연구대상 전원으 로부터 수집된 자료를 분석하였으나, 본 연구의 초점인 협력적 수학 문제해결 과정의 특징을 파 악하기 위해서는 실제 협력적 문제해결이 관찰된 모둠인 B의 자료만을 상세히 분석하였다. '특정 의미를 포함하는 학생 및 교사의 발화' 를 분석 단위로 삼아 이들의 대화를 대체로 1~2 문장으로 분절하였으며, 협력적 수학 문제해결과 관련성이 없는 발화는 제외하였다. 이와 같은 분 석 단위로 구분된 발화를 < 표 III-3 > 의 분석틀에 따라 분류하였다. IV. 연구 결과 1. 협력적 수학 문제해결 전·후 사고 변화 가. 모둠 A 모둠 A 학생들은 [그림 IV-1]과 같이 개인에게 퍼즐 조각을 할당하였을 때, 모둠원 모두가 원래 의 퍼즐 조각과 확대한 퍼즐 조각의 크기가 승 법적 관계임을 인지하고 있었다. 학생 A-1 학생 A-2 학생 A-3 학생 A-4 [그림 IV-1] 모둠 A 학생들의 개별 활동지 학생 A-1의 경우, 제시되지 않은 변의 길이를 구할 때 계산 실수를 보였으나 배로 확대해야 함을 정확하게 설명하였다. 학생 A-2와 학생 A-3 은 1.75배로 계산하여 확대된 퍼즐의 변의 길이 를 계산하였고, A-4는 길이 4를 몇 % 확대하면 7로 확대할 수 있는지에 대해 고민한 흔적을 나 타내었다. - 112 - 이와 같이 퍼즐 확대 과제를 해결하는 데 있 어 모둠 A 학생들의 비례추론은 이미 충분한 수 준이었다. 학생 A-2는 개별 활동에서 각자의 아 이디어로 퍼즐을 제작하는 과정 가운데,'분명히 비와 비율과 관련되어 있을 것이다.'와 같은 확 신을 보이기도 하였다. 결국 모둠 A는 별다른 인지적 갈등이 유발되지 않은 채 과제 해결에 성공하였다. 나. 모둠 B 단원평가에서 성취수준 보통을 나타낸 구성원 으로 이루어진 모둠 B에서는 [그림 IV-2]와 같이 학생 B-2와 학생 B-4는 퍼즐 확대 과제에 대해 승법적 사고를 보였고, 학생 B-1과 학생 B-3은 가법적 사고를 하였다. [그림 IV-3] 모둠 B 학생들의 모둠 활동지 다. 모둠 C 모둠 C는 성취 수준이 서로 다른 학생들로 구 성된 이질 집단으로, 과제에 대한 다양한 사고가 나타날 것으로 기대하였다. 그러나 예상과 달리, [그림 IV-4]와 같이 높은 성취 수준의 학생 C-4 를 포함한 모든 학생이 가법적으로 사고함으로 써 올바른 비례추론을 하지 못하였다. 학생 B-1 학생 B-2 IV-3]), 결과적으로 비례추론 상황에서 가법적인 사고를 했던 학생 B-1과 학생 B-3도 승법적 사 고로 발전할 수 있었다. 더하기 3의 결과 곱하기 1.75의 결과 학생 B-3 학생 B-4 [그림 IV-2] 모둠 B 학생들의 개별 활동지 모둠 활동 초기에 서로의 해결방법이 다름을 확인한 B 모둠 학생들은 각 변의 길이에 3을 더 하는 것과 1.75를 곱하는 것의 두 가지 방법으로 퍼즐 조각을 만들고 확인해보기로 하였다. 활동 결과로 후자가 옳은 방법임을 깨달았고([그림 - 113 - 학생 C-3 학생 C-4 [그림 IV-4] 모둠 C 학생들의 개별 활동지 학생 C-1 학생 C-2 이들은 퍼즐 조각이 맞지 않는 원인이 퍼즐 작도를 잘못했다고 생각하는 기능적 오류에만 두면서 퍼즐 조각을 만드는 데 시간을 소비하였 다. 교사는 이러한 사고의 흐름을 환기하기 위하 여 '퍼즐 조각이 커지면 퍼즐 조각의 모양에 변 화가 생길까?', '정사각형을 확대하면 직사각형 으로 변할까?'와 같은 발문을 하였고 비로소 학 생들은 확대한 퍼즐 조각이 모양은 같고 크기만 큰 조각이 된다는 것을 생각할 수 있었다. 그 후 교사는 학생들이 만든 퍼즐 조각을 원래의 퍼즐 조각과 비교해 보게 하였다. 그러나 학생 C-2의 경우, '2cm에다가 3cm를 더하면 5cm 잖아.'와 같 이 여전히 가법적 사고를 나타냈으며, 다른 학생 들도 '더하기 3'을 대체할 새로운 방법을 떠올리 지 못한 채, 자신들이 만든 퍼즐 조각의 모양이 어떤 모양으로 바뀌어야 하는지에 관해서만 이 야기하였다. 학생 C-1: 이 조각은 여기 대각선이 아예 안 맞 아. 여기가 이렇게 되려면 이 부분을 잘라 야 하는데... 그러면 길이가 안 맞아. 결국 교사는 모둠 C에게 '더하기 3을 하는 방 법이 틀렸을 가능성은 없을까?', '퍼즐을 확대하 는 방법이 잘못되었을 수도 있어.'와 같이 직접 적인 도움을 주었다. 이에 학생 C-4는 '7÷4를 해 볼까?'라는 제안을 하였고 모둠 C는 학생 C-4의 의견을 수용하여 퍼즐 확대 과제를 해결하였다. 이 과정에서 학생들 간의 수학적 추론이나 가설 의 검증과 같은 대화는 나타나지 않았다. 이는 교사가 도움말을 통해 '더하기 3이 틀린 방법'임 을 암시하였기 때문에 인지적 갈등 없이 학생 C-4의 의견을 수용한 결과로 해석된다. 이처럼 성취 수준이 다른 이질집단임에도 불 구하고 사고 수준이 모두 같았던 모둠 C의 경 우, 학생들의 상호작용만으로 사고 수준의 발달 이 일어나지 않았다. 또한 특정 가설의 진위 여 부를 암시하는 교사의 발언은 일부 학생의 사고 를 전환시킴으로써 문제해결 방법을 찾게 하는 데는 성공하였으나, 학생들 간의 의미 있는 의견 충돌과 타협이 일어날 가능성을 배제하는 결과 를 낳았다. 2. 모둠 B의 협력적 수학 문제해결 과정 분석 세 모둠 중 협력적 수학 문제해결에 성공한 모둠 B의 대화를 분석한 결과는 < 표 IV-1 > 과 같다. < 표 IV-1 > 모둠 B의 기능 및 영역별 발화 인지적 기능 (61.39%) CI 32 (8.89%) CR 29 (8.06%) CRe 160 (44.44%) 사회적 기능 (38.61%) SR 33 (9.17%) SP 106 (29.44%) 전체 발화 중, 60% 이상이 인지적 기능에 해 당하였으나, 사회적 기능에 해당하는 발화 역시 적지 않은 수준으로 나타났다. 이는 협력적 문제 해결이 일반적인 문제해결과 차별화된 기능을 필요로 하며, 사회적 기능이 인지적 기능 못지않 게 중요함을 보여준다. 학생들의 발화에서 가장 높은 비율을 차지한 기능은 전체 발화 중 44.44%를 차지한 수학적 과정에 대한 평가 및 반성(CRe)이었고, 뒤이어 참여(SP)가 29.44%였다. 이에 대한 상세한 분석 은 다음의 인지적 기능, 사회적 기능 분석에서 이어갈 것이다. 가. 인지적 기능에 관한 대화 분석 인지적 기능에서 가장 높은 비율을 나타낸 영역 은 수학적 과정에 대한 평가 및 반성(CRe)이다. 인지적 기능 중 72.40%를 차지하였다([그림 IV-5]). - 114 - [그림 IV-5] 인지적 기능의 영역별 발화 비율 CI, CR, CRe의 세부기능별 발화 횟수는 [그림 IV-6]과 같다. CRe 중에서도 자신 또는 타인의 수 행 과정, 결과에 관해 확인하거나 평가하기(CRe1 과 CRe2)가 각각 51회(31.88%), 52회(32.50%)로 높았고, 모둠의 수행 결과를 확인하거나 평가하기 (CRe3)가 39회(24.38%)로 뒤를 이었다. 이에 1.75를 곱한다) 중 어느 것을 받아들일지 결정하기 위해, 각자의 퍼즐 조각을 두 가지 방 법으로 만들고 모아보는 활동에 많은 시간과 노 력을 소요하였다. 이때, 각자가 확대한 퍼즐을 모았을 때 잘 맞추어지는지를 확인하고, 잘 맞추 어지지 않는 경우, 어떤 조각이 잘못되었는지 등 에 관한 대화가 이루어졌다. 다음은 대화의 예시 이다. (퍼즐을 맞추며) 학생B-2: 오~뭔가 안 맞아. 뭔가 안 맞아.(CRe3) 학생B-4: 초록색이 잘못 됐어.(CRe2) 학생B-3: 왜?(CI3) 학생B-2: 내(빨간색 조각)가 잘못됐는데?(CRe1) CRe 중 문제해결 행동의 과정 혹은 결과를 기술하기(CRe4)와 수행 단계에 대한 점검 제안 하기(CRe5)는 각각 11회(6.88%), 7회(4.38%)로 비 교적 낮은 비율을 보였고, 모둠의 의사소통(수학 적 측면)에 관해 이야기하기(CRe6)는 나타나지 않았다. CRe4의 경우, 주로 교사가 모둠 활동 중 간에 잠시 들러 '퍼즐 조각을 다 맞추어 봤어 요?' '퍼즐 조각은 왜 안 맞는 거예요?'와 같이 학생들의 활동을 점검하고 확인하기 위한 질문 에 대하여 응답을 하는 상황에서 발생하였다. 학 생이 자발적으로 문제해결 과정이나 결과를 기 술하는 상황은 11회 중 4회에 불과했다. [그림 IV-6] 인지적 기능의 세부기능별 발화 횟수 및 비율 학생들은 자신들이 세운 두 가지 가설(가설 1: 각 변의 길이에 3을 더한다, 가설 2: 각 변의 길 교사: 다 맞춰 봤어요?(CRe5) 학생 B-4: 네, 안 맞아요.(CRe4) 교사: 이게 왜 안 맞을까?(CI3) 학생 B-2: 어떤 애는 3을 더했다 하고, 어떤 애 는 1.75를 곱했다 하고...(CRe4) 한편 각자가 만든 퍼즐 조각을 모았을 때, 퍼 즐이 잘 맞지 않는다는 것을 수차례 확인하면서 도 이 퍼즐 조각이 왜 맞지 않는지에 대한 구체 적이고 체계적인 점검을 하려는 시도가 적었던 - 115 - 것은 아쉬운 점이다. 선택한 가설의 진위 여부와 관계없이 학생들에게는 퍼즐 조각을 의도대로 그리고 오려내는 능력이 요구되었다. 계산 오류 나 모눈종이를 사용하는 방법을 잘 몰라 제대로 작도하지 못하는데도 이에 대한 점검의 필요성 을 한참 후에야 논의하여 활동 시간이 길어졌다. 특히, 학생들의 수학적 의사소통 능력의 부족 함이 종종 발견되었다. 대화는 대부분 단답형이 거나 짧은 문장으로 이루어졌고, '1.75하면 나는 그냥 가만히 있으면 되네.'와 같이 불명확한 표 현을 사용하기도 하였다. 그 결과 다음 예시와 같이 학생 B-3이 1.75를 곱하는 것이 아니라 더 하는 것으로 착각하는 상황이 발생하였음에도 불구하고 학생들은 혼동의 원인을 의논하거나 정확한 수학적 표현의 필요성을 제안하지 않았 다. 이는 학생 간의 수학적 토론이나 의견 교환 등의 경험 부족에서 비롯된 것으로 해석된다. 학생 B-3: 아니, 근데 4에다가 1.75를 하면 7이 무조 건 안 될 것 아니야?(CR5) 그런데 3을 더하면...(CR1) 학생 B-4: 그게 아니라, 여기다가 1.75를 하는 거 고 그러면 여기가 8.75가 되고 그런 거지.(계산 틀림)(CRe2) 이해 공유(CI)와 추론 및 정당화(CR)는 인지적 기능 관련 발화에서 각각 14.48%, 13.12%로 비 슷한 비율을 나타냈다. 문제해결을 향상시킬 수 있는 기여, 제안, 아이디어, 관점, 정보를 제공하 기(CI6)의 경우, 11회로 이해 공유(CI)에 해당하 는 발화의 34.38%를 차지하여 최고의 횟수를 기 록하였다. 문제해결 진전을 위해 학생들이 제시 한 관점 혹은 정보는 '각 변의 길이에 더하기 3 을 하여 만든 조각이 확대 전의 퍼즐 조각이 갖 는 모양을 유지하지 못 한다'는 것과 '모눈종이 로 조각을 만들었을 때 더 편하게 조각을 만들 수 있다'는 것이다. 특히 전자는 가설 1이 잘못 되었음을 보여주는 중요한 단서임에도 불구하고, 모둠 활동 당시의 학생들은 그러한 사실에 주목 하지 않았고 가설 1의 반증으로 발전시키지 못 한 채, 가설 2를 확인해보고자 하였다. 학생들은 문제해결 과정 중 퍼즐 확대 방법에 대한 추론과 정당화를 시도하였다. 과제 특성상 확대된 퍼즐 조각을 그리고 만드는 수행 활동에 많은 시간을 할애하여 CR에 해당하는 발화가 많 지는 않았지만, 퍼즐 과제를 통해 학생 각각이 자신의 의견을 가지고 있었고 초보적인 수준에 서나마 이를 설명하고자 시도하였던 것은 분명 하다. CR 영역에서 보이는 특징은 자신의 추론 이나 해결 과정을 설명하거나 정당화하기(CR1) 가 15회(51.72%)로 압도적으로 높은 비율을 차지 한다는 것이다. 이는 타인의 추론이나 해결 과정 을 정당화하기(CR3)가 0회인 것과 대조적이다. 타인의 의견이나 과제를 기초로 추측하기(CR5) 는 6회(20.69%)였다. '상대방의 가설이 맞으면 나 의 가설이 틀릴 수도 있다'와 같은 발화도 있었 지만, 대체로 학생들이 자신의 의견에 대한 설명 을 시도하는 것에 비해 타인의 추론이나 해결 과정을 언급하는 것에는 어려움을 보였다. 나. 사회적 기능에 관한 대화 분석 전체 발화의 38.61%를 차지한 사회적 기능 중 에서는 '참여(SP)'의 비율이 76.26%로 상당히 높 았다([그림 IV-7]). [그림 IV-7] 사회적 기능의 영역별 발화 비율 - 116 - 사회적 기능의 발화 비율 중 세부기능별 발화 횟수 및 비율은 < 그림 IV-8 > 과 같다. SP의 세부 기능별 발화 횟수를 살펴보면, 상대방의 질문에 간단한 응답하기(SP1), 자신의 역할 수행에 도움 요청하기(SP2), 타인의 역할 수행에 도움 주기 (SP3)가 각각 39회(36.79%), 26회(24.53%), 29회 (27.36%)로 대부분을 차지한다. 역할 이해 및 조정(SR)은 자신과 구성원의 역 할 확인하기(SR1)와 자신과 구성원의 역할 제안 하기(SR2)가 각각 12회(36.36%), 20회(60.61%)로 대부분을 차지하였는데, 구체적으로 '너 지금 +3 한 거 만들고 있어?', '이제 곱하기 1.75 하면 돼.'와 같은 내용이었다. 이러한 대화는 표면적 으로는 자신이나 구성원의 역할을 확인하거나 제안하는 것이었지만, 실제 대화 속에서는 현재 자신들이 수행하고 있는 과정이나 수행해야 하 는 것의 방향을 제시하는 등의 역할을 하였다. 이처럼 사회적 기능의 발화는 때때로 명시적으 로 문제해결 과정을 기술하거나 제안하는 것을 보조적으로 돕거나 대체하기도 한다는 것을 확 인할 수 있다. 3. 협력적 수학 문제해결 과정에 나타난 개별 학생의 발화 분석 [그림 IV-8] 사회적 기능의 세부기능별 발화 횟수 및 비율 SP1은 비록 진위 여부에 대한 응답이거나 모 름을 나타내는 등의 짧은 발화였지만 적지 않은 횟수로 나타나 협력적 문제해결을 위한 학생 간 의 상호작용을 양적으로 늘려주었다. SP2와 SP3는 다음 대화와 같이 확대된 퍼즐 을 그리기 위해 계산하는 수행 과정에서 주로 나타났다. 학생 B-3: 이건 얼마야? 내꺼 얼마라고?(SP2) 학생 B-2: 이거 15.75.(SP3) 학생 B-3: 그리고... 4가?SP2) 학생 B-2: 4가 7.(SP3) 학생 B-3: 그리고.. 5는?(SP2) 학생 B-2: 5가... (계산 후) 8.75.(SP3) 협력적 수학 문제해결 과정은 학생들이 주로 이끌어나가는 가운데, 교사의 개입은 학생들의 수행 활동을 틈틈이 점검하거나 전체 학급 학생 에게 도움을 주는 방식으로 이루어졌다. 교사의 물음과 그에 대한 응답을 포함하여 모둠의 발화 전체에서 개별 학생의 발화 비율은 < 표 IV-2 > 와 같다. 학생 B-3이 38.89%로 가장 많은 발화를 하였 고, 뒤이어 학생 B-4가 30.83%, 학생 B-2가 25.28%이었으며, 학생 B-1의 발화는 교사의 발화 (2.78%) 비중보다도 낮은 2.22%를 차지하였다. 한편 개별 학생의 발화 경향2)을 살펴보면 학 생별 발화 특징과 이들이 어떤 도움을 서로 주 고 받았는지를 짐작할 수 있다. 먼저 모둠 내 가 장 많은 발화를 한 학생 B-3의 경우, CRe-SPCR-CI-SR의 순으로 높은 발화 비율을 나타내었 다. 하지만 학생 B-3의 발화 경향은 모둠 발화 2) 발화를 거의 하지 않았던 학생 B-1은 학생별 발화 경향 분석 대상에서 제외함. - 117 - < 표 IV-2 > 개별 학생의 영역별 발화 횟수 및 비율 발화 학생 횟수(회) (비율) CI 2 B-1 8 (2.22%) CI 3 B-2 91 (25.28%) CI 10 B-3 140 (38.89%) CI 15 B-4 111 (30.83%) CI 2 교 사 10 (2.78%) CI 32 합 계 360 (100%) (8.89%) SR 33 (9.17%) (20.00%) SR 1 (10.00%) CR 29 (8.06%) SP 106 (29.44%) 은 40% 이상의 비율을 차지하는 영역 경향(CRe-SP-SR-CI-CR)에 반영되지 못했다. 오히 려 학생 B-2와 학생 B-4의 발화 경향이 모둠 발 화 경향과 일치하였다. 이해 공유(CI)의 경우, 학 생 B-3의 발화에서는 7.14%인데, 학생 B-4의 발 화에서는 13.51%로 2배가량 높게 나타난다. 역할 이해 및 조정(SR)의 경우도 학생 B-4가 학생 B-3보다 2.5배가량 높다. 이처럼 학생 B-3은 학 - 118 - (변의 길이에 1.75를 곱하여 퍼즐을 확대해야 하 는데, 학생 B-1이 자신의 퍼즐 조각을 들고 머 뭇거리는 상황에서) 학생 B-2: (학생 B-1에게)1.75를 곱하면 여기가 9.8 이야. 9.8.(SP3) 학생 B-1: 9.8이야?(SP2) 학생 B-2: 응, 9.8이야.(SP3) 학생 B-3: 여기 다시 자르면 되는 거 아니야? 여 기 붙이고...(SR1) (13.51%) SR 18 (16.22%) CR 0 (0.00%) SP 1 (10.00%) CRe 160 (44.44%) (7.14%) SR 9 (6.43%) CR 3 (2.70%) SP 25 (22.52%) CRe 6 (60.00%) (3.29%) SR 5 (5.49%) CR 25 (17.86%) SP 34 (24.29%) CRe 50 (45.05%) (25.00%) SR 0 (0.00%) CR 1 (1.10%) SP 40 (43.96%) CRe 62 (44.29%) 영역별 발화 횟수(회)(비율) CR 0 (0.00%) SP 6 (75.00%) CRe 42 (46.15%) CRe 0 (0.00%) 생 B-4에 비해 CI, SR의 기능을 적게 사용하는 경향이 있었고, 반대로 추론 및 정당화(CR)는 학 생 B-4에 비해 월등히 많이 사용하는 특징이 있 었다. 참여(SP)의 경우, 학생 B-3과 학생 B-4 모 두 20% 정도의 발화를 나타내었다. 그러나 학생 B-2는 이들의 수치의 2배에 버금가는 43.96%를 사용하였다. 이처럼 학생별 발화의 특징은 서로 달랐고 그것의 작용결과, 모둠 전체의 발화는 CRe(44.44%)-SP(29.44%)-SR(9.17%)-CI(8.89%)-CR( 8.06%)로 나타났다. 학생별 발화의 세부적인 특 징 및 기능은 다음과 같다. 먼저 학생 B-1의 경우, 퍼즐을 확대하기 위해 각 변의 길이에 3을 더해야 한다고 생각했는데, 자신의 의견을 적극적으로 설명하기보다 같은 의견을 보인 학생 B-3의 의견에 '응'과 같이 간 단한 동의를 표현하였다. 또한, 변의 길이에 1.75 를 곱한 계산 결과를 확인해주려는 친구들의 도 움을 받아들이는 등과 같이 다소 수동적으로 모 둠 활동에 참여하였으나 자신이 맡은 과제는 완 수해내었다. 학생 B-2의 발화는 수학적 과정에 대한 평가 및 반성(CRe)과 참여(SP)가 비슷한 비율로 높은 특징을 보였다. 발화 횟수가 상대적으로 높았던 학생 B-3, B-4와 비교했을 때, 참여(SP)는 학생 B-2에서 두드러지게 높게 나타나는 영역이었다. 이러한 특징은 다음과 같이 모둠원들을 격려하 거나 수행 과정을 돕는 역할에서도 확인된다. 학생 B-4: 응, 맞아.(SP1) 오! 똑똑해!(SP4) 학생 B-3과 학생 B-4는 각각 38.89%, 30.83% 로 모둠 내에서 높은 발화 비율을 보였고 실제 로도 두 학생 모둠의 활동을 주도적으로 이끄는 모습을 보였다. 하지만 < 표 IV-3 > 에 나타나는 CI 와 CR, SR의 세부기능에 관한 학생별 발화 횟수 및 비율을 살펴보면, 협력적 수학 문제해결에서 학생 B-3과 학생 B-4의 역할에 분명한 차이가 있음을 알 수 있다. < 표 IV-3 > CI과 CR, SR의 세부기능에 관한 개인별 발화 횟수 및 비율 영역 세부 CI 기능 CI1 CI2 CI3 CI4 CI5 CI6 합계 CR CR1 CR2 CR3 CR4 CR5 CR6 학생 B-1 - - 2 - - - 2 (6.25%) - - - - - - SR 합계 (0.00%) SR1 SR2 SR3 0 - - - 합계 0 학생 B-2 - - - 1 - 2 3 학생 B-3 - - 4 1 3 2 10 - - - - - 1 13 5 - 2 5 - 25 5 4 - 5 9 학생 B-4 2 1 - 3 2 7 15 1 - - 1 1 - 3 4 교사 합계 - - 2 - - - 2 (9.38%) (31.25%) (46.88%) (6.25%) 1 - - - - - - 0 (3.45%) (86.21%) (10.34%) (0.00%) 3 2 - - 13 1 18 1 - 1 (0.00%) (15.15%) (27.27%) (54.55%) (3.03%) 2 1 8 5 5 11 32 (100%) 15 5 0 3 6 0 29 (100%) 12 20 1 33 (100%) 학생 B-3은 추론 및 정당화(CR)와 관련한 대 화에 상대적으로 크게 기여했다. 학생 B-3은 처 - 119 - 음에 퍼즐을 확대하기 위해 각 변의 길이에 3을 더해야 한다고 생각하였다. 이는 비록 잘못된 추 론이었지만, 자신의 의견을 명확히 하고 친구들 을 설득하고자 노력함으로써 서로 다른 관점에 대해 생각해보고 검증해볼 필요성을 느끼도록 하였다. 이러한 대화가 수학적인 토론으로 이어 지지 못했던 점은 아쉽지만, 자신의 의견을 적극 적으로 표현하고 타인을 설득하고자 하는 태도 는 수학 토론에서 중요한 부분이다. 학생 B-2와 B-4의 경우, 처음부터 확대 전후의 두 퍼즐 사이 의 승법적인 관계를 알고 있었음에도 자신의 의 견을 적극적으로 설명하거나 정당화하지 않았다. 학생B-3: 4에서 7이되면 +3만 하면 되잖아.(CR1) 얘(길이 7인 변)는 그러면 10이고, 얘(길 이 9인 변)는 그러면 12지. 그렇게 해서 만 드는 거야. 응, 그거야.(CR1) 학생B-4: 근데 1.75배니까... 다 1.75배를... 아, 몰라 (CR 1) 학생 B-4의 경우 전체 발화의 횟수는 학생 B-3보다 적었지만, < 표 IV-3 > 과 같이 이해공유 (CI)와 역할 이해 및 조정(SR)에 대한 발화는 각 각 46.88%, 54.55%로, 모둠원 중 가장 크게 기여 했다. 특히 다음 대화와 같이 각 변의 길이에 3을 더하여 조각을 만들었을 때 조각의 모양이 유지 되지 않는다는 것을 발견하였고, 이에 대한 정보 를 몇 차례 제공하여 문제해결을 진전시킬 수 있는 기여, 제안, 아이디어, 관점, 정보를 제공하 기(CI6)에서 많은 대화 횟수를 기록하였다. (변의 길이에 더하기 3을 한 퍼즐 조각을 만든 후, 확대 전 퍼즐의 모양(직사각형)과 비교하며) 학생 B-4: 난 직사각형이 아니야.(CRe1) 학생 B-1: 왜?(CI1) 학생 B-3: 왜?(CI1) 학생 B-4: 정사각형인데... 아니, 뭔가 이상해. 모양 이 달라져.(CI6) 학생 B-3: (혼잣말) 내가 틀린 걸 수도 있지.(CR5) 학생 B-4: 이거... 이거 이상한데 모양이...(CI5) 또한, 학생 B-4는 자신과 구성원의 역할 행동 제안하기(SR2) 기능이 높게 나타났는데, 이로부 터 학생 B-4가 사회적 기능을 활용하여 모둠 활 동의 방향을 이끌었음을 설명할 수 있다. V. 결론 및 시사점 본 연구는 초등학교 6학년 학생들의 협력적 수학 문제해결 과정의 특징을 분석하고 그 결과 에 기초하여 협력적 수학 문제해결 지도를 위한 교수학적 시사점을 얻는 것을 목적으로 한다. 이 를 위해 3가지 유형의 4인 모둠에게 퍼즐 확대 과제를 제시하였고 그들의 협력적 문제해결 과 정 및 결과에 대한 자료를 수집하여 분석한 결 과, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다. 첫째, 학생들은 모둠 구성원끼리 사고 수준이 서로 다르고 그로 인한 인지적 갈등이 일어날 때, 협력적 수학 문제해결 과정을 거쳐 사고를 함께 발전시킬 수 있다. 퍼즐 확대 과제는 개인 의 책무성, 인지적 갈등유발의 가능성, 협력 활 동을 통해 인지적 구조를 발전시킬 수 있는 과 제라는 측면에서 '협력적 수학 과제'의 조건을 충족함에도 모둠에 따라 다른 결과가 나타났다. 모둠 A는 성취 기준상 동질집단으로 구성원 모 두가 승법적 사고를 나타내었다. 그 결과 인지적 갈등이 일어나지 않고도 퍼즐 확대 과제를 해결 하였다. 이러한 활동은 모둠원 개인에게 자신의 의견의 타당성을 입증하는 것으로 작용하였으나, 함께 사고 수준을 발전시킬만한 협력적 과정이 일어났다고 보기는 힘들다. 모둠 C의 경우, 성취 수준이 달랐던 이질 집단이므로 과제에 대한 학 생들의 사고도 다르게 나타날 것이라고 예상하 였으나 그와 달리 구성원 모두가 가법적으로 사 고함을 확인하였다. 모둠 C의 경우, 학생들의 상 호작용만으로 가법적 사고에서 벗어나지 못했고 결국은 교사의 직접적인 도움이 개입되었다. 교 사의 도움은 학생 간 사고의 수준 차를 유발함 으로써 모둠의 문제해결에 도움을 주었지만, 동 시에 학생 간에 일어날 수 있는 인지적 갈등과 타협 가능성을 배제시켰다. 결과적으로 모둠 C 는 퍼즐 확대 과제를 해결하였으나, 그 과정에서 의미 있는 수학적 활동이 나타나지 않았다. 모둠 B의 경우, 성취 수준이 보통인 동질집단이었음 에도 퍼즐 확대 과제에 관해 가법적인 사고를 하는 학생과 승법적인 사고를 하는 학생들이 함 께 섞여 있었고 이로부터 인지적 갈등이 유발되 었다. 이것은 사고 수준이 서로 다른 구성원들에 게 인지적 갈등이 일어날 때, 협력적 활동이 효 과적임을 나타낸다. 모둠 B의 구성원 중 처음 과제를 접했을 때 가법적인 사고를 나타냈던 학 생들은 자신의 의견과 친구의 의견으로 인한 결 과를 비교하고 친구의 도움을 받아 자신의 역할 을 수행함으로써 사고를 발전시켰다. 승법적인 사고를 하는 학생들은 처음에는 옳은 가설을 세 웠음에도 자신의 의견에 확신을 갖지 못하고 상 대방을 설득하는 모습을 보이지 않았다. 그러나 협력적 활동을 통해 상대방의 가설이 틀렸다는 것을 짐작하거나, 모둠원과 함께 확대된 퍼즐 조 각을 성공적으로 만들어 봄으로써 자신의 가설이 옳았음을 확인할 수 있었다. 이는 Schoenfeld (1985)가 주장한 협력적 문제해결에의 '참여'가 어떻게 교육적인 기능을 하는지 확인할 수 있는 사례이다. 둘째, 협력적 수학 문제해결에 사용되는 학생 들의 인지적 기능은 매우 제한적이었다. 인지적 기능과 관련된 발화 분석 결과로, 수학적 과정에 대한 평가 및 반성(CRe)이 72.40%로 두드러지게 나타났다. 해당 영역 내에서도 자신의 수행과정, - 120 - 결과에 관해 확인하거나 평가하기(CRe1), 타인의 수행 과정, 결과에 관해 확인하거나 평가하기 (CRe2), 모둠의 수행 결과를 확인하거나 평가하 기(CRe3)가 각각 31.88%, 32.50%, 24.38%로 특정 기능에만 편중되는 경향이 나타났다. 이는 과제 의 특성을 감안하더라도 높은 수치이다. 반면 이 해공유(CI)의 세부기능 사용은 전반적으로 부족 했으며, 추론 및 정당화(CR)에서는 타인의 추론 이나 해결 과정을 설명하거나 정당화하기(CR3) 가 0%인 것과 달리 자신의 추론이나 해결 과정 을 설명하거나 정당화하기(CR1)가 51.72%로 압 도적인 차이를 보였다. 이러한 제한적인 인지적 기능의 사용으로 인해 문제해결을 진전시킬 수 있는 중요한 정보를 발견하였음에도 이를 수학 적인 추론으로 발전시키지 못하거나 모둠에서 수행하고자 결정한 내용을 명확하게 이해하지 못하는 등의 특징을 보였다. 셋째, 학생들이 사용하는 사회적 기능의 발화 는 협력적 수학 문제해결과정에서 효과적으로 작용한다. 사회적 기능의 발화는 전체 발화의 38.61%로 적지 않은 수준으로 나타났다. 협력적 수학 문제해결에서 사회적 기능은 보조적인 수 단으로 간주하기 쉽지만, 실제로는 의미 있는 작 용을 하는 것으로 해석할 수 있다. 특히 학생들 은 인지적 기능에 해당하는 문제해결 행동의 과 정 혹은 결과를 기술하기(CRe4)나 수행 단계에 대한 점검 제안하기(CRe5)가 거의 교사의 발문 에 답할 때만 나타났는데, 대신 이에 대응하는 사회적 기능인 자신과 구성원의 역할 확인하기 (SP1)를 통해 서로의 활동을 공유하였다. 넷째, B 모둠이 보여주듯이, 협력적 수학 문제 해결의 성공은 학생들의 상이한 수준과 역할이 상보적으로 작용한 결과이다. 처음 과제를 제시 했을 때 학생 B-3은 퍼즐 확대 문제에 있어 가 법적 사고를 보여 자신의 가설을 설명하고 정당 화하고자 노력하였고 학생 B-1은 그의 의견에 동의하는 모습을 보여주었다. 학생 B-2와 B-4는 승법적인 사고를 하고 있었음에도 불구하고 자 신의 의견을 강하게 주장할 수 있는 확신을 갖 지는 못하였다. 결국, 모둠의 학생들은 두 가지 가설을 모두 확인해 보기로 결정하였다. 이들의 협력적 수학 문제해결 과정에서 연구자는 자신 의 의견을 설명함으로써 문제해결에 관한 비교 가능한 관점을 제시하였던 학생 B-1, 문제해결을 진전시킬 수 있는 정보의 제공과 구성원이 맡은 역할의 확인 및 제안을 주로 하였던 학생 B-4, 계산 과정이나 퍼즐 조각을 만드는 수행과정에 도움을 주는 역할을 주로 하는 학생 B-2의 역할 을 확인할 수 있었다. 학생 B-1의 경우, 발화만 을 분석했을 때는 협력적 문제해결 과정에 대한 기여도가 거의 없는 것처럼 보였으나 수업 관찰 및 동영상 분석 결과는 모둠의 대화를 열심히 경청하였고 친구의 도움을 받아 자신이 맡은 과 제는 성실하게 완수해내어 최소한의 역할을 해 낸 것을 보여준다. 그 결과, 학생들은 비례추론 사고가 한 단계 발전되거나, 확신하지 못했던 자 신의 생각을 더욱 완전하게 향상시킬 수 있었다. 본 연구 결과로부터 도출한 협력적 수학 문제해 결 지도를 위한 교수학적 시사점은 다음과 같다. 첫째, 협력적 수학 문제해결 지도를 위해서는 무엇보다 과제에서 요구되는 사고 수준의 다양 성을 고려한 모둠 구성이 필요하다. 본 연구에서 는 성취도를 기준으로 하여 세 가지 형태의 모 둠을 구성하였는데, 성취도와 무관하게 교사의 도움 없이 사고 수준의 다양성이 나타났던 모둠 에서만 실제적인 협력적 수학 문제해결이 일어 남을 확인할 수 있었다. 이로부터 모둠 구성원의 서로 다른 사고 수준은 협력적 문제해결에 있어 중요한 변인으로 작용함을 알 수 있다. 달리 보 면, 수학적 내용에 관한 성취도가 특정 과제에 필요한 사고 수준을 대변하지 못한다고 할 수 있다. 사실 한 학급 학생 전체의 사고 수준을 분 - 121 - 별해내기는 쉽지 않기 때문에, 일반적으로 이질 집단을 구성하기 위해 성취도를 기준으로 삼는 경우가 많다. 이에 협력적 수학 문제해결에 앞서 학생 개인에게 과제 전체 혹은 일부를 제시하여 교사가 그들의 사고 수준을 가늠한 뒤 자리 이 동 등을 통해 모둠을 구성하는 방식을 제안한다. 둘째, 협력적 수학 문제해결 수업에서 교사의 도움이 교수학적 의도와 달리 부정적 영향을 미 칠 수 있음에 주의해야 한다. 본 연구에서 모둠 C 학생들이 오랜 시간 문제해결의 과정을 진전 시키지 못할 때 교사는 그들의 사고를 전환시키 도록 발화를 하였고, 그것은 의도대로 작용하였 다. 그러나 교사의 도움은 양면적으로 작용하여 학생들의 사고의 소통을 저해하기도 하였다. 이 에 학생들의 능동적인 지식 구조 생성을 기대하 는 협력적 수학 문제해결 수업에서 교사의 신중 한 역할 선택이 필요함을 주장하며 이와 관련한 추가적인 후속 연구의 필요성을 제언한다. 셋째, 협력적 수학 문제해결능력을 신장시키기 위해 협력적 상황에서 보다 다양한 인지적 기능 을 활용하도록 지도하는 것이 필요하다. 학생들 의 발화 분석 결과, 수행과정이나 결과를 확인하 기 위한 발화에 치우친 경향이 있었으며, 실제로 퍼즐 과제를 직접 만들어 확인함으로써만 자신 의 가설을 검증하려고 하였다. 협력적 수학 문제 해결 과정에 필요한 인지적 기능으로 일반적인 수학적 추론 능력, 수학적 과정에 대한 평가 및 반성 능력을 포함하여 타인의 의견 이끌어 내기, 타인의 추론이나 해결 과정 정당화하기, 모둠의 의사소통에 관해 이야기하기 등 협력적 상황에 서만 발생할 수 있는 다양한 기능이 있다. 이러 한 기능을 지도하기 위한 적합한 교수 방법에 대한 실증적 연구가 필요하다.
