(요약본)세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

차이톈신 지음 /
이 책은 더 많은 사람이 수학을 이해하고 좋아하도록 돕기 위해 수학과 세계사가 만나서 벌어지는 다
양한 이야기들을 소개한다. 중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 어떤 학문을 마스터하는 일은 그
가 해당 학문에 어느 정도 흥미가 있느냐에 달려 있다면서, 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사
의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다.

세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기
차이톈신 지음

▣ 저자 차이톈신
산둥대학교에서 이학 박사 학위를 받고 현재 저장대학교 수학 대학에서 박사생 지도 교수로 재직 중이
다. 베이루트 나지 나만 문학상(2013)과 카탁 문학상(2019)을 수상했다. 그의 작품 『수학전기』가 중
국 국가과학기술진보상(2017)을, 『수학간사』가 오대유 과학보급저작상 창작 부문 가작상(2018)을 수
상했다. 지은 책으로 시집 『아름다운 점심』, 수필집 『그녀를 가볍게 꼬집었다』, 여행기 『미국, 하
늘에 비행기가 날아다니다』, 사진집 『보는 것에서 발견하는 것까지』, 회고록 『나의 대학』 등이 있
다.


▣ Short Summary
인류의 발명품 가운데 가장 오래된 것은 수학과 시가다. 이 2가지는 인류 역사와 동시에 생겨난 것이
나 마찬가지다. 수학은 양치기가 양이 몇 마리인지 세는 데서 시작되었고 시가는 풍성한 수확을 비는
기도에서 비롯되었다. 다시 말해 수학과 시가는 인류의 생존과 밀접하게 연관된 것으로, 수학은 비교
적 이른 유목 문명에서 탄생했고 시가는 농경 문명 초기에 나타났다. 이후 수학과 시가는 인류 사회의
전 지역, 역사, 삶의 모든 순간에 영향을 미쳤다. 그렇다면 수학과 세계사가 만나면 어떻게 될까?
『삼국지연의』의 적벽대전에는 초선차전(草船借箭, 풀단을 실은 배로 화살 10만 개를 얻어 냈다는 일
화)이 나온다. 자세히 살펴보자. 적벽대전이 벌어지기 전날 밤, 제갈량은 풀단 실은 배 20척을 안개가
자욱한 강을 따라 조조군 영채 가까이 보낸다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명한
다. 그러자 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 그런데 제갈량이 화살
10만 개를 얻어 내기 위해서는 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 조조군이 화살을 100
만 개 이상 발사해야 한다. 그런데 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야
한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20~30개 들어갔으므로 한 사람이 100발
을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 따라서 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다고 할 수 있다.
이 책은 더 많은 사람이 수학을 이해하고 좋아하도록 돕기 위해 수학과 세계사가 만나서 벌어지는 다
양한 이야기들을 소개한다. 중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 어떤 학문을 마스터하는 일은 그
가 해당 학문에 어느 정도 흥미가 있느냐에 달려 있다면서, 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사
의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다.

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

이 책의 내용은 세 부분으로 나뉘어 있다. Ⅰ편에서는 일곱 가지 이야기를 다루고 있는데, 동서양의
전기적 이야기를 서로 융합하고 끼워 넣은 것으로, 순수 수학과 응용 수학에 해당하는 것도 있고 수학
개념과 수학의 미를 구현한 것도 있다. Ⅱ편에서는 수학자 10여 명과 관련된 여덟 가지 이야기를 다룬
다. 중동인과 서양인이 각 절반씩 차지하는데, 그들이 살았던 지역의 이념과 출신, 신분은 모두 제각각
이다. Ⅲ편에서는 역사가 오래된 다섯 가지 수학 문제와 방법을 소개하는데, 이들 문제는 대부분 알기
쉬우면서도 어느 정도 깊이가 있어 미해결 수학 난제와 가설을 남겼다.

▣ 차례
서문
Ⅰ 수학 이야기
1 우임금의 치수부터 알브레히트 뒤러의 <멜랑콜리아>까지
2 마르코 폴로와 아라비아 숫자의 여행
3 수탉, 암탉, 병아리 그리고 토끼
4 황금 분할과 오각별 이야기
5 자전거 발명과 리만 기하학
6 심오한 통계: 제갈량이 화살을 얻은 이야기부터 셰익스피어까지
7 세계 최초 암호, 에니그마에서 튜링까지
Ⅱ 수학자 이야기
1 최초로 이름을 남긴 수학자 탈레스
2 주인 집안 출신 조충지
3 다리를 만들고 싸움을 할 줄 알았던 진구소
4 나폴레옹과 그가 아낀 수학자
5 황제, 여제 그리고 수학의 대가
6 결혼, 바스카라에서 라마누잔까지
7 폰 노이만의 가족 모임과 훌륭한 스승들
8 포로 수용소, 면화점 그리고 석좌 교수
Ⅲ 재미있는 수학 문제
1 음양의 조화를 이룬 완전수 이야기
2 이집트 분수와 디도 여왕
3 대칭수와 가쿠타니 추측
4 뷔퐁의 실험과 몬테카를로
5 공 쌓기 문제와 케플러의 추측
후기
찾아보기

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기
차이톈신 지음

수학 이야기
마르코 폴로와 아라비아 숫자의 여행
영(0)과 인도 숫자: ‘1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.’ 이 간결하고 보기 좋은 부호 10개와 그 조합으로 이뤄
진 십진법 체계가 흔히 말하는 아라비아 숫자다. 그런데 오늘날 대다수가 사용하는 아라비아 숫자는
과연 아라비아인이 발명한 것일까? 1881년 여름, 지금의 파키스탄(당시와 고대에는 대부분의 시간 동
안 인도에 속했다) 서북부에 있는 페샤와르에서 80여 킬로미터 떨어진 바크샬리의 한 소작농이 땅을
파다가 자작나무 껍질에 적힌 『바크샬리 필사본』을 발견했는데, 3~4세기에 제작된 것으로 추정되는
필사본 겉면에는 서기 원년을 전후로 수 세기에 걸친 인도 수학이 기록되어 있었다.
예를 들면 분수, 제곱수, 비례, 수열, 수지와 이유 계산, 급수의 합과 대수 방정식 등이 있었다. 그뿐
아니라 뺄셈 부호를 사용해 오늘날의 덧셈 부호 같은 형태를 만들기도 했는데, 이 부호는 뺌수의 오른
쪽에 적었고 덧셈 부호와 곱셈, 나눗셈, 등호는 문자로 표시했다. 가장 의미 있는 것은 필사본에 완전
한 십진법 숫자가 등장한 점이며 그중 속을 채운 점으로 ‘영’을 표시했다.
영을 나타내던 점은 시간이 흐르면서 현재 사용하는 ‘0’으로 변했는데, 이 형태가 나타난 가장 앞선(9
세기) 유적이 인도에 있다. 876년 괄리오르 사람이 새긴 석비에 숫자 0이 선명하게 보인다. 괄리오르
는 인도 북부 도시로 갠지스강 유역에서 인구가 가장 밀집된 마디아프라데시주에 속한다. 화원에 있던
그 석비에는 근처 사원에 기증한 땅의 폭과 길이, 매일 해당 사원에 공급하고자 준비한 화환이나 화관
의 수를 새기고 있는데 여기에서 비록 크지는 않지만 선명하게 새긴 숫자 0 두 개를 볼 수 있다.
영을 동그라미로 표시한 것은 인도인의 대단한 발명이다. 0은 무(無)를 의미하기도 하고 자리 표기법에
서 빈자리를 나타내기도 한다. 또 수의 기본 단위로써 다른 수와 함께 계산할 수도 있다. 수메르인이 발
명한 설형 문자나 송원 시대 이전의 산가지 기수법은 모두 빈자리만 남겨 두었을 뿐 부호는 없었다. 60
진법을 쓴 바빌로니아인과 20진법을 쓴 마야인이 0(마야인은 조개껍데기나 눈으로 표시)을 도입했다고
말할 수도 있으나, 이는 빈자리만 표시한 것뿐이며 0을 독립 숫자로 간주한 것은 아니었다.
1부터 9까지 아라비아 숫자 9개의 초기 형태도 인도인이 가장 먼저 발명했지만, 정확한 시기는 고증하
기 어렵다. 근대 고고학 발달로 인도에 있는 오래된 돌기둥과 동굴 벽에서 이들 숫자의 흔적을 발견했
는데, 그 시기는 대략 기원전 250년에서 기원전 200년 사이로 추정하고 있다. 그런데 이 시기와 이후
몇 세기 동안 자모 문자에 미지수나 숫자 부호가 없었기 때문에 아라비아 숫자가 힘을 발휘했다.
고대 인도는 고대 바빌로니아, 이집트, 중국과 마찬가지로 수학에 지대한 공헌을 했다. 다만 인도 수학
은 그 뿌리가 종교라는 점에서 나머지 세 문명과 차이가 있다. 신비와 종교가 성행하는 인도에서는 브
라만교, 자이나교, 불교, 시크교, 인도교(힌두교) 등 유명 종교가 탄생했는데, 그중 역사가 가장 오래된
브라만교는 이 종교의 유일한 경전 『베다(Vedah)』를 중심으로 발달한 종교다. 그런데 초기에 제사장의

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

입에서 입으로 전해진 『베다』는 이후 야자수잎이나 나무껍질에 기록했고, 그 전승 과정에서 많은 부분
이 사라졌으나 잔존하는 부분에 사당, 제단 설계와 측량 내용이 담겨 있는데, 이것이 바로 인도에서 가
장 오래된 수학 문헌 『술바수트라스』다. 출판 연대는 기원전 8세기부터 기원전 2세기로 추정하는데, 이
는 인도의 두 고전 서사시 「마하바라타」와 「라마야나」보다 앞선 것이다. 『술바수트라스』에는 제단
건축법이 들어 있으며, 그 가장 흔한 형태는 직사각형, 원형, 반원형인데, 어떤 형태든 제단 면적은 특
정 수치와 같아야 했기 때문에 인도인은 정사각형과 면적이 같은 원을 그리는 법을 배워야 했고 이를
위해서는 원주율이 정확해야 했다. 등변 사다리꼴 형태의 제단은 새로운 기하 문제를 제기하기도 했다.
결국 인도 숫자와 0 기호는 『술바수트라스』에서 파생한 것으로 볼 수 있다.
수탉, 암탉, 병아리 그리고 토끼
당나라의 수학 교과서: 639년 아라비아인이 비잔티움 제국의 지배를 받고 있던 이집트를 침입했다. 아
라비아인과 3년간 교전을 벌인 비잔티움군은 어쩔 수 없이 이집트를 떠나야 했다. 침입자들은 학술 보
고인 알렉산드리아 도서관에 남아 있던 몇 안 되는 저서를 불태웠고 결국 그리스 문명은 막을 내렸다.
이후 이집트에 카이로가 생기면서 이집트인은 아라비아어를 쓰고 이슬람교를 신봉했다.
당시 중국은 당태종 이세민이 재위에 올라 융성기를 맞이한 시기였다. 300여 년간 중국을 통치한 당나
라는 시가 분야에서 눈부신 성과를 거두었으나 수학 분야는 다소 부진했는데, 의미 있는 성과로 볼 수
있는 것이 당고종 이치(재위 649~683)의 명으로 편찬한 『산경십서(算經十書)』(중국 고전 수학서 10
종)다. 『산경십서』의 편찬과 주해 작업을 맡은 이순풍은 특히 천문, 역법, 수학에 정통했다.
『산경십서』 중에는 작자 미상의 고전 수학 『주비산경』과 『구장산술』, 수학자 유휘의 『해도산경』,
조충지의 『철술』도 있다. 유휘, 조충지, 조충지의 아들 조긍은 함께 구의 면적 계산 공식과 원주율(소
수점 아래 7자리까지 정확했다)을 생각해 냈다. 이 외에 『손자산경』, 『장구건산경』, 『집고산경』도
언급할 필요가 있다. 『산경십서』는 당나라 이후 각 조대(朝代)의 수학 교과서로 쓰였으며, 특히 송원
시대 수학이 고도로 발전하는 조건을 만들어 주었다. 영국의 저명한 과학사가 조지프 니덤은 “그는 중
국 역사상 가장 위대한 수학 저서 주석가다.”라며 이순풍을 높이 평가했다.
수탉, 암탉, 병아리: 『손자산경』, 『장구건산경』, 『집고산경』의 공통점은 하나같이 가치 있는 문제
를 제기하고 그 문제가 대대로 전해졌다는 점이다. 『손자산경』에 나오는 물부지수(物不知數, 직역하
면 어떤 물건이 있는데 그 수량을 모른다는 뜻으로,『손자산경』의 내용을 해석하면 다음과 같다. ‘3으
로 나누면 2가 남고 5로 나누면 3이 남고 7로 나누면 2가 남는 수는 무엇인가.’) 문제는 ‘중국인의 나
머지 정리’를 이끌어 냈고, 이는 중국과 외국의 모든 수론 교과서에 수록되었다.
한편 『집고산경』은 3차 방정식의 해를 논의한 세계 최초 수학 저서다. 그리고 『장구건산경』은 5세
기에 북위 사람 장구건이 집필했는데, 여기서 하이라이트는 마지막 문제다. 이것은 ‘백계문제(百鷄問
題)’라고 불리는데, 민간에는 현령이 이 문제로 신동을 테스트했다는 이야기가 전해진다. 그 내용은 다
음과 같다. ‘수탉은 한 마리에 5전, 암탉은 한 마리에 3전, 병아리는 세 마리에 1전이다. 돈 100전으로
닭 100마리(돈은 남김없이 다 써야 한다)를 산다면 수탉, 암탉, 병아리를 각각 몇 마리씩 사야 할까?’
구매한 수탉, 암탉, 병아리의 수를 각각 x, y, z라고 가정하면 이 문제는 아래 연립 방정식의 해를 구하
는 것과 같다. ‘x + y + z = 100, 5x + 3y + z/3 = 100’

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

그런데 장구건이 살던 시대는 중국이 알파벳을 도입하기 전이고 미지수 개념도 없어서 이 연립 방정식
을 글로 설명하기란 결코 쉽지 않았다. 그런데 장구건은 (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84)라는 정답
3개를 정확히 구했다. 우선 그는 소거법으로 3원 1차 방정식 2개를 2원 1차 방정식 1개로 만들었다.
‘7x + 4y = 100’ 그리고 x에 4의 배수를 차례로 넣어 앞서 말한 정답 3개를 얻은 것이다. 이 문제는 중
국 민간에서 널리 퍼졌는데, 수학 보급의 본보기라고 할 만하다. 그로부터 오랜 시간이 흐른 뒤 13세
기 이탈리아인 피보나치와 15세기 아라비아인 알카시가 이와 유사한 문제를 제기하고 연구했다. 이후
이 방정식은 이것을 최초로 수집, 연구, 정리한 그리스 수학자 디오판토스의 이름을 따서 ‘디오판토스
방정식’이라 불렸다.
피보나치의 토끼: 상대적으로 개방된 정치와 인문학 분위기에서 중세기 유럽의 가장 걸출한 수학자 피
보나치가 출현했다. 1170년 이탈리아 피사에서 태어난 피보나치는 청년 시절 정부 관원이던 아버지를
따라 북아프리카 알제리로 건너갔고, 그곳에서 아라비아인의 수학을 접하고 인도-아라비아 숫자를 이
용해 계산하는 법을 배웠다. 이후 피보나치는 이집트, 시리아, 비잔티움, 시칠리아 등지를 다니며 동양
인의 계산법을 배웠고, 피사로 돌아온 지 얼마 지나지 않아 『주판서』를 출간했다.
『주판서』는 1장에 수의 기본 산법과 다른 진법 간의 전환 방법을 소개했는데, 그는 분수를 만드는 가
로선을 최초로 사용했으며, 이 기호는 지금도 쓰이고 있다. 2장은 상업 응용 문제를 다뤘는데, 그중
‘30전으로 새 30마리 사기’는 ‘100전으로 닭 100마리 사기’와 판에 박은 듯 똑같다. 『주판서』 3장은
잡다한 문제와 이상한 문제를 다루고 있는데, 특히 다음과 같은 ‘토끼 문제’가 눈길을 끈다.
“큰 토끼 한 쌍은 매달 작은 토끼 한 쌍을 낳는다. 작은 토끼 한 쌍은 2개월이면 번식 가능한 큰 토끼로
성장한다. 작은 토끼 한 쌍으로 시작할 때 1년 후 토끼는 몇 쌍이 될까?” 토끼 문제를 이용하면 ‘피보나
치수열’을 쉽게 얻을 수 있다. ‘1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ……’ 이 수열의 점화식(수학자가 발견한 첫
번째 점화식일 가능성이 크다)은 다음과 같다. ‘F1=F2=1, Fn=Fn-1 + Fn-2(n≥3)’ 재미있는 점은 이 정수 수
열의 통항 공식이 무리수를 포함한 식이고, 전항과 후항 비율의 극한이 피타고라스학파가 정의한 황금
분할률이라는 것이다. 한편 다양한 수학 문제에 등장하는 피보나치수열은 꿀벌 번식, 데이지의 꽃잎 수,
미적ㆍ예술적 감각 분야와 관련이 있는 문제를 해결하는 데 도움을 준다. 댄 브라운의 베스트셀러 소설
『다빈치 코드』에서도 피보나치수열이 금고의 비밀번호를 만드는 데 쓰였다.
한편 1963년 토끼 문제를 열정적으로 연구한 수학자들은 피보나치 협회를 설립하고, 미국에서 『피보
나치 계간지』를 펴내 피보나치수열과 관련된 수학 논문을 주로 게재했다. 나아가 이들은 세계 각지에
서 피보나치수열과 그 응용에 관한 국제 회의를 2년에 한 번씩 개최하고 있다.

수학자 이야기
주인 집안 출신 조충지(429~500)
완원이 편찬한 『주인전』: 1795년은 중국 수학과 수학사에 상당히 의미 있는 해다. 일대 문호로 칭송
받던 완원(阮元, 1764~1849)이 처음 항저우에서 저장 학정(교육청장에 해당)으로 부임해 『주인전(疇
人傳)』편찬을 주재했기 때문이다. ‘주인’이란 고대 중국에서 주로 천문과 역산을 관장하던 사람으로 그
일을 가업으로 전수하는 경우가 많았다. 대표적인 예로 위진 남북조 시대 조충지와 그의 아들 조긍을

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

들 수 있다. 『주인전』 초판은 모두 46권이며 전기 기록 대상자는 316명이다. 상고, 영방, 진자, 손자,
사마천, 유휘, 갈홍, 조충지, 조긍, 이순풍, 진구소 등 중국 과학자 275명과 유클리드, 아르키메데스,
프톨레마이오스, 히파르코스, 코페르니쿠스, 튀코 브라헤, 마테오 리치 등 외국 과학자 41명이 수록되
어 있다. 『주인전』이 출판되자 중국에 천문과 수학 분야를 체계적으로 기록하는 과학 기술 인재와 발
명 서적이 잇따라 등장하기 시작했다. 영국의 과학사가 조지프 니덤은 『중국 과학 기술사』에서 『주
인전』을 “전대미문의 중국 과학사 연구”라고 일컬으며 완원을 ‘정확한 과학사가’라고 칭송했다.
조충지와 원주율: 조충지의 가문은 관리 집안으로 역대 조상이 대부분 천문 역법을 깊이 연구했는데, 비
록 조충지는 관직이 낮았지만 천문학, 수학, 나아가 기계 제조 분야에서까지 뛰어난 성과를 거뒀다. 수
학 분야에서 조충지는 자신보다 200여 년 앞선 위진 시대 유휘의 유산을 계승했는데, 유휘는 원주율을
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계산하는 할원술과 구의 면적을 계산하는 방법을 발명한 인물이다. 원의 면적 공식 S=πr 으로 알 수 있
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듯, 원의 면적(S)을 구해 반지름의 제곱(r )으로 나누면 그 값이 곧 원주율(π)인데, 원의 면적을 구하는
방법은 유휘가 『구장산술』 주해에서 다음과 같이 적었다. ‘원을 잘게 쪼개 붙이면 남는 부분이 점점 줄
어든다. 더 이상 자를 수 없을 때까지 계속 쪼개면 원과 딱 맞아 남는 부분이 없어진다.’
유휘는 원에 내접한 정육각형부터 면적을 계산하기 시작해 차례로 변의 개수를 2배로 늘려 내접한 정
십이각형, 정이십사각형, 정사십팔각형 등의 면적을 구했다. 변의 개수를 2배로 늘릴 때마다 내접한
정다각형 면적은 점차 원의 면적에 가까워지고 원의 면적과 원주율의 정확도가 높아졌다. 참고로 고대
에는 바빌로니아를 포함한 모든 민족이 3을 원주율로 삼았다. 이 분야에서는 고대 이집트인이 계산한
값이 비교적 정확했는데, 그들이 얻은 원주율은 3.1이었다. 한편 유휘는 할원술로 3.14라는 원주율 값
을 얻었는데, 이는 고대 그리스 수학자 아르키메데스가 계산한 원주율과 일치하지만, 아르키메데스는
유휘보다 600년 앞선 시대를 살았다. 조충지가 계산한 원주율 π의 범위는 다음과 같다. ‘3.1415926 <
π < 3.1415927’ 즉, 소수점 아래 7자리까지 정확하다.
그 밖에도 그는 밀률(密率)이라 불리는 355/113의 분수 형식 원주율도 얻었다. 이는 소수점 아래 6자
리까지 정확한 것에 불과하지만 놀랍기는 마찬가지다. 조충지의 원주율은 962년 후 아라비아 수학자
알 카시가 개선했는데, 그는 코사인 함수의 반각 공식을 이용해 계산을 간소화하며 원주율을 소수점
17자리까지 계산했다. 한편 발렌티누스 오토가 밀률을 구한 건 조충지보다 1,000여 년 늦은 시점이
다.
지남차와 천리선: 수학과 천문학 분야의 업적 외에 조충지는 지남차(指南車)와 천리선(千里船)을 비롯
해 정교한 기계를 많이 만들었다. 특정 방향, 즉 남쪽을 가리키는 수레를 뜻하는 지남차는 상당히 유
용했을 테지만, 조충지가 만든 지남차의 구조는 전해지지 않는다. 한편 조긍(456~536)은 아버지의 영
향을 받아 어려서부터 수학에 커다란 흥미를 느꼈으며, 조충지의 『대명력』은 조긍이 세 번째 제안한
내용을 바탕으로 완성한 것이다. 그리고 당나라의 수학 교과서로 쓰이고 조선과 일본에도 전해진 조충
지의 명저 『철술』은 학자들의 고증으로 일부 항목은 조긍의 작품임이 밝혀졌다. 특히 구의 면적 공식
은 조긍의 가장 대표적인 발견이다. 아무튼 조충지 부자는 수학 분야에서 두 가지 주요 성취를 이뤘으
나, 아르키메데스가 먼저 구의 면적 공식을 구한 까닭에 원주율 분야 성과에서 더 높은 평가를 받았다.
그러나 무한급수 표시법과 컴퓨터가 등장한 이후 원주율 경쟁은 의미를 상실했다.
황제, 여제 그리고 수학의 대가

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

유클리드와 아르키메데스: 일반적으로 수학자는 정치에 별로 관심이 없고 예술가처럼 말썽을 일으키지
도 않는다. 보들레르는 말년에 이 점을 깨달은 듯하다. 보들레르는 다음과 같은 17세기 수학자 파스칼
의 말을 인용한 적이 있다. “재난이 발생하는 원인은 대부분 우리가 얌전히 집에 들어앉아 있지 않아서
다.” 아무튼 수학자의 이런 점 때문에 많은 정치인이 수학자와 교류하길 원하고 심지어 수학 문제에
매료되기도 한다. 한편 유클리드는 고대 그리스 기하학을 집대성한 사람으로 널리 알려져 있는데, 그
가 태어난 곳과 살았던 정확한 연대는 지금까지 풀리지 않는 수수께끼로 남아 있다.
우리는 유클리드가 아테네의 플라톤 아카데메이아에서 공부한 후 이집트 국왕 프톨레마이오스 1세(재
위 305~285BC)의 초빙을 받아 알렉산드리아대학교 수학과에서 학생들을 가르쳤다는 것, 그리고 그곳
에 어마어마한 양의 장서를 보유한 도서관이 있어서 수학사에 가장 유명한 저서인『기하학 원론』을 완
성했다는 것만 알고 있을 뿐이다. 무엇보다 이 저서는 현대 과학을 낳은 중요한 요소다. 여기에다 연
역 추리 구성의 훌륭한 본보기로 철학자들에게도 시사하는 바가 많았다.
한편 기원전 300년경 활발히 활동한 유클리드가 사망하기 몇 년 전에 태어난 아르키메데스는 고대 세
계에서 가장 위대한 수학자이자 과학자로 후세 사람들에게 ‘수학의 신’이라는 칭호를 얻었다. 아르키메
데스는 어린 시절 알렉산드리아 도서관에서 공부하며 뜻이 맞는 친구(유클리드의 제자 포함)를 많이
사귀었다. 이후 고향 시라쿠사로 돌아온 그는 시라쿠사 왕 히에론 2세(재위 270~215BC)의 신임을 받
았는데, 히에론 2세가 사람을 시켜 황금 왕관을 만든 뒤 그 왕관이 전부 순금으로 만들어졌는지 아르
키메데스에게 알아보도록 청했다는 이야기는 널리 알려져 있다.
이 이야기는 기원전 1세기 로마 건축학자 비트루비우스의 저서 『건축십서』에 기록되어 있다. 어느 날
욕조에서 목욕을 하던 아르키메데스는 욕조 밖으로 넘친 물과 자신의 부피가 같다는 걸 발견했다. 이
를 바탕으로 그는 무게가 같은 두 물체가 있을 경우 밀도가 낮아 부피가 큰 물체를 넣었을 때 넘치는
물의 양이 밀도가 높아 부피가 작은 물체를 넣었을 때 넘치는 물보다 더 많을 것이라고 생각했다. 이
것이 바로 그 유명한 부력의 원리다. 아르키메데스는 이 원리로 히에론 왕의 왕관이 순금으로 만들어
지지 않았음을 밝혀내 왕의 인정을 받았고 결국에는 국가를 위해 목숨을 바쳤다.
한편 클라우디우스 1세(재위 41~54)는 이탈리아가 아닌 곳(오늘날의 프랑스인 갈리아)에서 태어난 최
초의 고대 로마 황제였는데, 그는 재위 기간 동안 뛰어난 정치 업적을 남겼다. 그 밖에 역사에도 상당
히 조예가 깊어 그리스어로 쓴 두터운 역사학 저서를 남기기도 했다. 흥미롭게도 이 황제는 「어떻게
하면 주사위를 던져 승리할 수 있는가」라는 소책자를 썼다고 전해지는데, 확률 문제를 탐구한 이 책은
현재 남아 있지 않다. 참고로 1654년 프랑스 수학자 파스칼과 페르마는 통신 방식으로 확률론의 기초
를 닦았는데, 두 사람의 출발점도 주사위 던지기 같은 도박 게임이었다.
2월과 로마의 통치자: 1543년 5월 24일 임종을 앞둔 폴란드 천문학자 코페르니쿠스는 독일 뉘른베르
크에서 보내온 책 『천구의 회전에 관하여』 견본을 받고 이틀 뒤 세상을 떠났다. 그는 수학과 관측으
로만 천문학을 연구할 수 있다고 믿었는데, 이 저서에서 코페르니쿠스는 지구가 태양 주위를 돌고 있
다는 지동설을 제기했다. 그는 책에 “만약 배의 돛대 꼭대기에 횃불을 타오르게 하면 배가 해안을 벗
어났을 때 해안에 있던 사람들은 불빛이 점차 약해지다가 사라지는 것을 볼 것이다.”라고 적었다.
지구가 태양 주위를 도는 걸 공전이라고 하고, 지구가 태양을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간을 지구의

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

공전 주기라고 하며 이것의 친숙한 표현이 연(年)이다. 연은 기준점 정의에 따라 항성년(恒星年), 회귀
년(回歸年), 근점년(近點年)으로 나누는데, 항성년은 지구 공전의 진정한 주기로 여겨지고, 태양이 황
도상의 춘분점을 출발해 다시 춘분점에 돌아올 때까지 걸리는 시간인 회귀년은 지구의 사계절이 변화
하는 주기로 인류의 생활, 생산과 밀접한 관계가 있다. 회귀년은 항성년보다 약 20분 24초가 짧다.
천문학자와 수학자는 회귀년 시간이 365.2422일 정도라는 걸 계산해 냈는데, 일력에 매년 365일이 존
재하는 이유가 여기에 있다. 이는 고대 로마의 율리우스력에서 변화한 역법이다. 기원전 46년 로마의
독재관 율리우스 카이사르는 새로운 역법, 즉 율리우스력을 공포하고 매년 열두 달을 큰 달(31일)과
작은 달(30일)이 교차하는 형태로 규정했다. 하지만 이 경우 1년 366일이 존재하면서 하루를 빼야 하
는 달이 생긴다. 당시 매년 2월은 로마 제국에서 범인을 처형하는 시기라 2월을 불길한 달로 여겼다.
이런 이유로 카이사르는 2월에서 하루를 빼 29일만 남겨 두기로 결정했다.
한편 지구 공전 주기는 매년 0.2422일 늘어나 약 4년마다 하루가 늘어난다. 이에 따라 카이사르는 3
년에 한 번 윤년을 두거나 4년마다 윤년이 있게 했다. 결국 평년에는 1년이 365일이고 윤년에는 366
일이 된다. 2월은 일수가 가장 적기 때문에 윤년 때 늘어난 하루를 2월에 주어 2월 30일을 만들었다.
율리우스력을 공포하고 2년이 지났을 무렵 카이사르는 애인의 아들 브루투스에게 암살당했다. 카이사
르가 죽고 그의 질손이자 양자였던 옥타비아누스가 경쟁자 안토니우스를 물리치고 로마 제국을 세워
초대 황제 아우구스투스(재위 63BC~AD14)가 되었다. 옥타비아누스는 원수정(元首政) 창시자로 로마
제국을 무려 40년간 다스렸는데, 그는 카이사르가 태어난 7월은 31일인 반면, 자신이 태어난 8월은
30일밖에 없는 걸 알고 2월에서 뺀 하루를 8월에 덧붙이라고 명령했다. 그 결과 2월이 평년에는 28일,
윤년에는 29일이 되고 8월은 31일이 되었다. 그리고 8월 이후의 4개월 일수도 이에 상응하도록 조종
했다. 그러나 이 일의 경위를 기록한 역사적 증거는 없다. 그저 전설에 불과할 가능성이 높지만 이야
기가 논리정연하고 수학 수준도 높아 많은 사람이 이것을 사실로 믿는다.
실제로 지구의 회귀년은 365일보다 0.25일이 아니라 0.2422일이 많다. 물론 이 경우에도 오차가 존재
해 400년마다 윤일 3일을 빼야 한다. 이것이 현재 전 세계에서 사용하는 그레고리력이다. 이 역법은
16세기에 활동한 이탈리아 의사 알로이시우스 릴리우스가 가장 먼저 제기했는데, 그가 세상을 떠난 뒤
독일 수학자이자 천문학자인 클라비우스(1538~1612)가 수정하고, 로마 교황 그레고리우스 13세(재위
1572~1585)가 1582년 3월 1일 공포해 10월 4일부터 시행하기 시작했다.
1582년 10월 4일 다음 날은 10월 5일이 아니라 10월 15일이었지만 요일은 계속 이어졌다. 즉, 10월
4일이 목요일이면 다음 날인 10월 15일은 금요일이 된 것이다. 이렇게 하면 1,000여 년 동안 쌓인 누
적 오차를 한 번에 해결할 수 있다. 새로운 윤년 계산법은 이렇다. 연수가 4로 나누어떨어지는 해가
윤년인데 만약 연수가 뒤에 ‘0’이 붙은 ‘세기년(世紀年)’이면 반드시 400으로 나누어떨어져야 윤년이
된다. 그레고리력의 연평균 길이는 365일 5시 49분 12초로 회귀년보다 26초 길다. 이 방식대로 계산
할 경우 약 3,000년이 흘러 1일이라는 오차가 발생하지만 그래도 정확도가 상당히 높은 편이다. 율리
우스력(그레고리력)에서는 2월 28일(2월 29일)에 태어난 사람이 가장 적다. 만약 나이를 한 사람의 생
일수로 계산한다면 이 날 태어난 사람은 스무 살만 되어도 장수한 축에 속할 것이다.
오일러와 러시아 여제 4인: 나폴레옹이 수학자를 가장 많이 사귄 군주라면 군주들과 가장 많이 상대한

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

수학자는 오일러다. 오일러는 평생 러시아 여제 4인의 보살핌을 받았다. 역사상 가장 유명한 궁정 수학
자인 그는 평생 적국이던 두 나라, 즉 러시아와 독일을 오가며 여러 황제와 여제를 위해 일했다. 프리드
리히 대제는 오일러에게 질녀를 위해 수업을 해 달라고 요청했고 오일러는 산문을 써서 여기에 응답했
다. 이 글은 1768년에 『독일 공주에 보내는 편지』라는 책으로 출간된 이후 10여 개 국가에서 불티나
게 팔렸다. 이는 과학자가 쓴 과학 보급서 또는 과학 문화 도서의 초기 사례라고 할 수 있다.

재미있는 수학 문제
공 쌓기 문제와 케플러의 추측
탐험가 겸 작가 롤리: 16세기 영국 탐험가 월터 롤리(1552~1618)는 한 시대의 풍운아라고 할 만한 인
물이다. 엘리자베스 1세 여왕의 총애를 받은 그는 서른한 살에 기사 작위를 받았지만, 여왕의 후계자
제임스 1세(재위 1603~1625) 때 모반죄로 런던타워에 수감되었다가 결국 참형을 당했다.
가정 교사 해리엇: 토머스 해리엇은 롤리가 가이아나로 원정을 떠날 때 수석 과학 고문을 맡았다. 옥스
퍼드에서 태어난 그는 옥스퍼드대학교 세인트메리 칼리지에서 공부했는데 범상치 않은 수학 재능을 보
인 덕분에 졸업 후 롤리 가문의 가정 교사가 되었다. 해리엇이 영국으로 돌아오자 유명한 퍼시 가문의
일원으로 노섬벌랜드 백작인 헨리 퍼시가 그를 고용했고, 그는 백작 집안에서 일하며 수학자, 천문학자,
번역가로서 많은 저술 활동을 했다. 특히 그는 북미 원주민 언어인 알곤킨어 번역에 능했다.
수학자 해리엇은 영국 대수학 학파 창시자로 인정받는다. 이 분야에서 해리엇이 남긴 거작 『해석학의
실제』는 그가 죽고 10년이 지나서야 출판되었는데, 그는 책에서 방정식 이론을 개선하고, 근과 계수의
관계를 중시했으며, 이미 알고 있는 근에서 어떻게 방정식을 만드는지 상세히 논술했다. 또 임의의 n
차 방정식과 선형 방정식 n개의 합이 등가라는 것도 보여 주었는데, 이는 가우스가 19세기에 증명한
대수학의 기본 정리에 가깝다. 특히 해리엇은 부등호(>, <)를 만들었고 이것은 지금까지도 쓰이고 있다.
한편 롤리는 해리엇에게 한정된 함대 안에 가장 많은 포탄을 쌓아 둘 방법을 찾아내라고 했고, 그 임
무를 맡은 해리엇은 금세 답을 내놓았는데, 포탄을 쌓아 두는 방법은 다음과 같다.
먼저 삼각형 모양으로 포탄을 가장 밑층에 배열하고 두 번째 층의 구심을 가능한 한 낮게 만든다. 이
어 순서대로 층수를 늘리면 최대한 효과적으로 쌓을 수 있다. 이 방법을 사용할 경우 가장자리에 있지
않은 포탄이 12개 포탄과 서로 만난다. 즉, 같은 층에 6개, 위층과 아래층에 각각 3개씩 놓인다. 공
하나가 같은 크기의 공 13개와 만날 수 있는지를 두고 100년이 지나 뉴턴과 스코틀랜드 수학자이며
천문학자 제임스 그레고리(1638~1675)가 논쟁을 벌였는데 만날 수 없다는 뉴턴의 답이 정확했다.
12개 접점이 형성한 십이면체는 구체 하나를 완전히 에워싸고 모든 십이면체는 공간 전체를 가득 채
울 수 있다. 십이면체를 합동인 원추 12개로 나눌 경우 부피 4√2를 구할 수 있다. 아르키메데스의 구
부피 계산 공식을 따르면, 단위 구체의 부피는 4π/3가 된다. 이 둘을 나눌 경우 쌓인 공의 밀도는 π√
18이 된다. 여기서 평면 상황을 조금 더 자세히 살펴보자.
2차원, 즉 평면 위에 원을 가득 채운다고 가정해 보자. 우선, 모든 단위원과 크기가 같은 원 4개가 접
하면 원 m행 n열 개의 직사각형 배열에서 원 면적 총합은 mnπ고 직사각형 면적은 4mn이다. 따라서

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

두 값의 비는 π/4다. 평면 범위(작은 원의 반지름에 비해)가 충분히 크기만 하면 작은 원의 반지름 크
기는 이 비율에 영향을 주지 않는다. 둘째, 모든 단위원과 크기가 같은 원 6개가 접하면 피타고라스
정리에 따라 행에 있는 모든 원의 높이는 √3이지만 한 행씩 건너 원이 하나씩 줄어든다. 결국 원의 면
적 총합은 m(2n-1)π/√3이고 직사각형 면적은 여전히 4mn이다. 이에 따라 두 값의 비는 π/√12에 가
깝고 첫 번째 배열 방식보다 더 긴밀하다. 물론 어떤 방법이든 구체를 쌓은 밀도보다 크다.
원자론 애호가이기도 한 해리엇의 이 학설은 고대 그리스 철학자 데모크리토스에게서 비롯되었다. 참
고로 데모크리토스는 만물의 근원이 원자이며 원자는 나눌 수 없는 미립자로 전혀 틈이 없다고 믿었다.
한편 해리엇은 공 쌓기 문제 연구가 물질 구조와 구성을 이해하는 데 도움을 준다고 생각했고, 1601년
무렵 이 의견과 공 쌓기 문제를 자신보다 열한 살 어린 신성 로마 제국의 천문학자 케플러에게 편지로
알려 주었다. 공교롭게도 그 시기 천체 이론 연구에 골몰하던 케플러에게는 미시 세계를 깊이 생각할
만한 시간적 여유도 흥미도 별로 없었다.
케플러의 눈송이와 추측: 1571년 케플러는 독일 서남부의 뷔르템베르크 공국에서 태어났다. 재능이 특
출한 그는 운 좋게 뷔르템베르크 공국 영주가 빈곤 가정 영재들을 위해 설립한 장학금을 받게 되었다.
열여섯 살에 튀빙겐대학교에 입학한 케플러는 이후에도 여러 번 행운이 따랐다. 첫째, 그의 천문학 교
사는 독일에서 코페르니쿠스의 지동설을 믿은 유일한 사람이었다. 둘째, 그는 문학 학사와 석사 학위
를 받았고 목사가 되려던 중 오스트리아 그라츠에 있는 김나지움에 수학 교사 자리를 추천받아 교사가
되었다. 셋째, 스물세 살 케플러는 학생들을 가르치다가 문득 기묘한 생각을 떠올렸다. 참고로 고대 그
리스인은 사면체, 육면체, 팔면체, 십이면체, 이십면체, 이렇게 5가지 정다면체(플라톤 다면체)만 있는
줄 알았다. 피타고라스부터 플라톤까지 모두 ‘수학조화론’을 신봉했는데, 이는 케플러에게 하나의 깨달
음을 안겨 주었다. 그는 행성 운행 궤도도 아름다운 기하 도형일 거라고 믿었다.
4년 후 케플러는 행성 운동의 제1법칙(모든 행성은 각각 크기가 다른 타원 궤도를 따라 움직인다)과 제
2법칙(같은 시간 동안 행성의 동경이 궤도 평면을 휩쓰는 면적은 같다)을 발견했다. 이 두 법칙과 이후
발견한 제3법칙은 그에게 ‘하늘의 입법자’라는 명성을 안겨 주었다. 1611년, 즉 해리엇의 편지를 받고
수 년이 지난 뒤 케플러는 「육각형 눈송이에 관하여」라는 논문을 발표했다. 이 논문에서 그는 눈송이
가 왜 육각형인지 설명하고, 벌집 구조와 석류 열매가 십이면체인 이유 등을 탐구했다. 이는 기하에서
출발해 자연을 연구한 최초의 논문이다. 그는 눈송이가 육각형인 것은 원반 하나가 똑같은 원반과 최대
6개까지 접할 수 있고, 정육각형은 평면으로 평평하게 펼 수 있기 때문이라고 생각했다.
케플러는 이 논문에서 다음과 같은 유명한 추측을 제기했다. ‘한 용기 안에 똑같은 공을 쌓아 얻을 수
있는 최대밀도는 π/√18다.’ 한편 그는 다음과 같이 공 쌓는 방법을 설명했다. 한 변의 길이가 2인 정
육면체는 부피가 8이다. 정육면체의 모든 꼭짓점 8개와 모든 면 6개의 중심을 구심으로 하고 √2/2를
반지름으로 하는 구체 14개를 만든다. 피타고라스 정리와 모든 면의 대각선 길이가 2√2라는 데서 알
수 있듯 모든 면 가운데의 구체는 그 면 첨각 위의 구체 4개와 접촉한다. 이 정육면체 안에서 구체가
차지하는 부피는 구체 4개의 부피(각 8개에 모두 구체 8분의 1개가 있고, 면 6개에 모두 구체 2분의
1개가 있다)와 같다. 따라서 밀도는 아래와 같다.
‘4(4/3π(√2/2)^3)/2=π/√18=0.740480……’

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기

위 방법에서는 정육면체 안에 완전한 공이 없다. 그러나 공을 큰 상자로 바꿔 생각해 보면 이들 정육
면체를 기본 단위로 해서 상자를 가득 채울 때 불완전한 구체의 부피는 중간에 있는 완전한 구체 여러
개의 부피에 비해 작다. 같은 원리로 상자 모양 역시 밀도에 영향을 주지 않는다. 그렇지만 케플러 추
측의 충분성은 실증하기 어렵다. 이후 1831년 ‘수학의 왕자’ 가우스는 케플러의 추측이 ‘격점형(格點
型)’인 특수한 상황에서 성립한다는 것을 증명했는데, 격점형이란 좌표에 표시했을 때 모든 구심이 좌
표와 짝수 정점 위에 있는 것을 말한다.
한편 1900년 독일 수학자 다비트 힐베르트는 파리 세계 수학자 대회에서 해결해야 할 문제 23개를 제
시했는데, 그중 18번째 문제의 제3부분은 공 쌓기 문제와 관련이 있다. 그 후 많은 수학자가 스스로
케플러의 추측을 증명했다고 여겨 결과물을 발표했으나 만장일치로 인정받지는 못했다. 그러다가
2005년 미국 『수학연간』에서 120쪽에 달하는 논문을 발표해 케플러의 추측이 증명되었다고 선포했
다. 이 논문을 쓴 사람은 미국 수학자 토머스 헤일스(1958~)였는데, 그는 유명한 랭글랜즈 프로그램
의 문제를 해결하는 데 있어서도 중대한 공헌을 했다.
헤일스는 ‘공 쌓기 문제’를 5,000여 개로 상황을 나눈 다음 선형 계획 문제 10만여 개를 고려했다. 그
의 컴퓨터 프로그램은 2년간 운영되었는데, 이는 1976년 4색 정리(Four color theorem) 문제를 증명하
는 것보다 더 복잡했다. 분명한 것은 기하학자의 절대다수가 컴퓨터 프로그램을 잘 몰랐고 컴퓨터 전
문가들은 심오한 기하학을 이해하기 힘들어했다는 점이다. 논문 심사를 맡은 책임자조차 이 논문의 정
확성을 99퍼센트밖에 확신하지 못했음을 인정했다. 이를 감안해 (페르마 대정리를 기대하는 것처럼)
앞으로 더 간결하고 효과적인 증명 방법이 등장하리라 기대해 본다.

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세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기