이토록 재미있는 수학이라니

 
리여우화 지음 / 미디어숲 
 
이 책은 학교에서 가르쳐주지 않는 재미있는 수학 이야기를 들려준다. 저자는 독자들이 재미있게 받아들일 수 있는 응용문제를 제시하고, 깊이와 난이도 등 다방면의 배경자료를 찾아, 수론, 도형, 미적분, 확률, 도박이론, 물리학에 응용된 수학, 수학사의 에피소드까지 곁들여 흥미롭게 소개한다. 아울러 수학의 역사를 소개하면서 수학자들이 겪은 어려움과 해결 과정, 성과 등 관련 수학 지식도 제공한다. 
 
이토록 재미있는 수학이라니 
 

 
▣ 저자 리여우화 
 
수학을 향한 열정과 사랑이 넘치는 수학 마니아. 복단대학교 컴퓨터공학 석사 학위를 받고 IT 업계에 종사하고 있으며 중국에서 유명한 과학연맹 ‘과학의 소리’ 조직위원을 맡고 있다. 수학을 향한 열정과 사랑이 넘쳐 2016년부터 히말라야FM 인기 팟캐스트〈리쌤과 수학 수다〉의 메인 진행자로 활동하고 있다. 아마추어 수학 애호가들로부터 전폭적인 응원과 함께 전문가들에게도 인정받고 있다. 현재 중국 인터넷에서 수학의 대중화에 앞장서는 몇 안 되는 전문 프로그램 중 하나다. 또한 그는 국내외 수학 관련 논문, 서적, 언론 기사 등을 꾸준히 섭렵하며 오늘도 수학의 재미를 알리기 위해 힘쓰고 있다. 
 
 
▣ 감수 강미경 
 
서강대학교 수학과를 졸업(부전공 : 수학교육, 전자계산학)하고 서강대학교 대학원에서 위상수학 전공 으로 이학석사와 이학박사학위를 취득하였다. 현재 배재대학교 AI 전기공학과에서 부교수로 재직 중이며 강의 외에도 수학사에 관심을 가지고 공부하고 있다. 
 
▣ Short Summary 
 
‘수학’ 하면 무슨 생각이 먼저 드는가? 시험지를 앞에 두고 어쩔 줄 모르던 학창 시절이 떠오르는가?
아니면 벌써 ‘수포자’라는 무리의 일원이 된 자녀가 떠올라 가슴이 답답해지는가? 우리 사회에서는 특정 소수를 제외하고는 ‘수학’이라는 단어를 재미있고 즐거운 마음으로 마주할 수 있는 사람이 극히 드물다. 이는 우리의 교육제도가 수학을 호기심이나 재미, 놀이 차원이 아니라, 입시 경쟁을 뚫기 위해 힘들게 공부해야만 하는 의무로 일찍부터 인식시킨 것이 그 여러 원인 중 하나다. 
 
당신은 케이크를 공평하게 나눠 먹는 방법을 알고 있는가? 그리고 세계의 천재 수학자들이 지금도 이문제를 치열하게 연구하고 있다는 사실을 아는가? 모두가 불만 없이 공평하게 케이크를 나눠 먹는 방법은 언뜻 만만해 보이지만 생각처럼 쉽지 않다. 특히나 조금도 손해 보지 않으려는 인간의 공평 심리가 끼어들면 모두가 만족하는 해법이 과연 존재할지 의심스럽다. 
 
이 책은 학교에서 가르쳐주지 않는 재미있는 수학 이야기를 들려준다. 저자는 독자들이 재미있게 받아 들일 수 있는 응용문제를 제시하고, 깊이와 난이도 등 다방면의 배경자료를 찾아, 수론, 도형, 미적분, 확률, 도박이론, 물리학에 응용된 수학, 수학사의 에피소드까지 곁들여 흥미롭게 소개한다. 아울러 수학의 역사를 소개하면서 수학자들이 겪은 어려움과 해결 과정, 성과 등 관련 수학 지식도 제공한다. 
 
- 2 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
▣ 차례 
 
프롤로그 - 아무도 가르쳐주지 않는 재미있는 수학의 세계! 
 
PART 1 - LEVEL 1 시도하는 자가 수학보석을 캘 수 있다 수학에서 보석을 캐다 - 메르센 소수 / 싸우지 않고 케이크를 나눠 먹는 방법 - 공평분배 과학적으로 소파 옮기기 - 소파상수 / 조르당 곡선에서 정사각형을 찾아라 - 내접정사각형문제 다각형을 품고 있는 점의 개수 구하기 - 해피엔딩문제 ‘수학병’에 걸리게 하는 문제 - 콜라츠추측 
 
PART 2 - LEVEL 2 우주는 어떤 수로 표현할 수 있을까? 
 
완벽한 입방체는 존재하는가? / 수학자는 평면을 빈틈없이 채운다 - 테셀레이션 문제 기네스북에 오른 가장 큰 수 - 그레이엄 수 / 나무를 그리며 큰 수를 그리다 - TREE(3) 신비로운 0.577 - 오일러 마스케로니 상수 
 
PART 3 - LEVEL 3 수학의 마음으로 세상을 분석하라 ‘임의의 큰’과 ‘충분히 큰’ 중 무엇이 더 클까?
은근히 ‘평균’이 아니다 - ‘벤포드의 법칙’부터 ‘두 개의 편지봉투 역설’까지 공평해 보이는 가위바위보 게임 물리법칙으로 해결된 수학문제 - 최단강하곡선(사이클로이드)문제 앞서거니 뒷서거니 하는 달팽이 - 대수나선(로그 스파이럴)문제 삼체문제 잡담 / ‘걸음을 내딛으면, 반드시 천리에 이른다’ - 에어디쉬 편차문제 
 
PART 4 - LEVEL 4 수학에도 위기가 있었다니! 
 
‘무한소’가 일으킨 위기 / 나는 ‘거의’ 알아차렸다늘 말썽인 두 천재 - 벨 부등식의 간단한 수학 해석 
 
SNS 채팅방은 ‘모노이드’인가? 천간, 지지, 오행은 모두 ‘군’인가? 
 
이 명제는 증명이 없다 - 괴델의 불완전성 정리 수학자는 두 개의 무한을 비교한다 - 연속체 가설 선택해? 말아? - 공리선택 다툼 ‘패리스-해링턴정리’부터 ‘불가증명성’의 증명에 이르기까지 
 
PART 5 - LEVEL 5 수학적으로 세상을 수학하라 암호학에 빠르게 빠져들기 / 자유토론 AlphaGo, 바둑, 수학과 AI 수학의 3대 상에 대해 수다 떨기 : 필즈상, 울프상, 아벨상 이야기가 끝이 없는 피타고라스 정리 
 
에필로그 - 어떻게 골드바흐 추측을 생각해낼 수 있나요? 
 
- 3 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
이토록 재미있는 수학이라니 
 
 
시도하는 자가 수학보석을 캘 수 있다 
 
싸우지 않고 케이크를 나눠 먹는 방법 - 공평분배 케이크 하나를 친구와 나눠 먹어야 할 때 어른들은 두 조각으로 나누기만 하면 된다고 조언한다. 그래서 나는 주어진 케이크를 두 조각으로 나눈 후, 그중에 하나를 친구가 먼저 선택하게 하고 나머지 하나는 내가 가졌다. 나는 이 방법이 적절하다고 생각했다. 왜냐하면 케이크를 두 조각으로 나눌 때 ‘만약 내가 나눈 케이크가 동일한 양이 아니면 상대방은 더 큰 조각을 택할 것이고, 그래서 나는 최대한 같은 크기로 두 조각을 내야 한다’고 생각했기 때문이다. 따라서 앞의 방법은 상대방이 가져간 조각이나 내가 선택한 조각이나 모두 손해를 보지 않는 결과로 서로가 ‘공평’하다고 느끼게 되는 멋진 해법이다. 만약 세 명이 하나의 케이크를 나누어야 하는 경우, 같은 방법으로 잘 나눌 수 있을까? 
 
한 사람이 케이크를 먹는 방법은 ‘공평’하고 ‘질투’를 면할 수 있다. 다른 사람에 비해 많고 적은지를 고민할 필요가 없기 때문이다. 앞에서 말한 두 명이 케이크를 나누어 먹는 방법도 이 두 가지 기준(공평과 질투)을 만족시킨다. 세 명이 케이크를 나누는 문제도 질투 없는 ‘공평’한 문제 해결이 가능하다는 것을 누군가가 찾았고, 이 방법은 여전히 끊임없이 연구되고 있다. 그중 하나를 소개하겠다. 
 
일찍이 1960년에 수학자 존 셀프리지는 방법 하나를 소개했다. 그는 이 방법을 친한 친구이자 수학자인 리처드 K.가이에게 알려주었는데, 이후 리처드 K.가이가 다른 많은 사람에게 이를 소개했다. 그러나 당시 그들은 이 발견을 대수롭지 않게 여겼다. 그래서 정식으로 학계에 발표를 한 적이 없다. 이 발견은 단지 항간에 한동안 떠돌았을 뿐, 그다지 큰 파문을 일으키지는 못했다. 
 
1993년에 수학자 존 호턴 콘웨이는 독립적인 해법-생명게임(CGOL:Conway’s Game of Life)-을 발견 했다. 신기한 것은 케이크를 공평하게 나누는 방법을 발견한 수학자 이름이 모두 존(John)이라는 것과 그들은 모두 정식 발표를 하지 않고 비공식적으로 교류를 했다는 것이다. 그러나 이후에는 일반 과학및 전문적인 학술기사에서 이 방법을 언급하고 있다. 현재 이 방법은 두 수학자의 성을 따와서 ‘셀프리지-콘웨이 분할 절차’라고 부른다. 당신의 이해를 돕기 위해 하나의 이야기를 통해 이 방법을 소개하 려고 한다. 
 
어느 절에 3명의 승려가 있는데, 한 명은 통통하고 한 명은 키가 크고 또 한 명은 키가 작았다. 이 3 명의 승려가 케이크를 공평하게 나누는 상황을 설명하려고 한다. 이들은 평소 매우 이기적이어서 조금도 손해를 안 보려고 한다. 어느 날 물이 극도로 부족해서 밥도 제대로 못해 먹는 상황이 되었고 승려 들은 굶주림에 매우 허기진 상태에 이르렀다. 그때 지나가던 행인이 우연히 이 절을 방문하게 되었고 절에서 하룻밤을 묵기로 했다. 행인은 “보아하니 세 분은 너무 오래 굶주려 매우 배가 고플 거 같으니 제가 가지고 있는 케이크를 하나 드리겠습니다. 공평하게 나눠 먹으세요.”라고 말했다. 
 
세 승려는 이 케이크를 어떻게 나누어야 할지에 대해 격렬하게 논쟁하기 시작했고 어느 누구도 손해를 
 
- 4 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
보지 않으려고 고집을 피웠다. 그러자 행인이 “싸우지 마세요! 저에게 좋은 방법이 하나 있어요!”라며 싸움을 말렸다. “키 작은 승려가 먼저 와서 이 케이크를 세 조각으로 나누세요. 그런데 기억해야 할 것은 다른 두 사람이 선택한 후 최후에 남은 한 조각이 당신 것이라는 거예요. 그래서 당신이 케이크를 자를 때 최대한 동일한 양으로 잘라야 해요.” 키 작은 승려는 이 방법이 아주 훌륭하다고 생각되진 않았지만, 최선이라고 생각하고 최대한 공평하게 세 등분하려고 시도했다. 
 
이어 행인이 통통한 승려에게 “만약 당신이 첫 번째로 선택한다면 어느 조각을 선택하고 싶나요?”라고 물었다. 통통한 승려는 마음속으로 ‘이 문제는 나에게 유리해. 내가 골라서 선택할 수 있네.’라고 기뻐 하며 바로 제일 커 보이는 케이크 조각을 선택했다. 하지만 행인은 이어서 “천천히 골라요. 당신은 이제 남은 두 조각을 가져갈 수 없어요. 지금 남은 두 조각 중 하나를 선택하라면 당신은 비교적 큰 것을 선택하겠죠?”라고 말했다. 통통한 승려는 행인이 무슨 꿍꿍이가 있는지는 모르겠지만 바로 커 보이는 조각을 선택했다. 그런 다음 통통한 승려는 “지금 내가 이 케이크 조각을 가져갈 수 있나요?”라고 물었다. 
 
행인은 “아니요.”라며 이렇게 말했다. “방금 당신은 제일 큰 조각과 그 다음 큰 조각을 선택했어요. 그럼 지금 당신이 선택한 것 중에서 제일 큰 조각을 조금 잘라서 그 다음 선택한 조각의 크기가 완전히 똑같게 만드세요.” 통통한 승려는 그 말을 듣자마자 맥이 빠졌다. ‘애초부터 나를 시험하려는 거였어.’ 그러나 다른 뾰족한 수도 없으니 지금은 행인의 말을 들어야 한다고 생각했다. 그래서 그는 더 큰 조각을 선택해 그 다음 조각과 완전히 같아지도록 그 차이만큼 조금 잘라내었다. 
 
행인은 “좋아요, 이제 키 큰 승려 차례가 왔어요. 당신은 키 작은 승려가 나눈 이 세 조각 중에 아무거나 하나를 선택할 수 있어요. 그 중에는 통통한 승려가 조금 잘라낸 케이크도 있어요. 만약 당신이 조금 베어진 케이크가 마음에 든다면 그 케이크를 선택할 수 있어요.” 키 큰 승려는 이 말을 듣고 너무 기뻐 ‘내가 제일 먼저 선택하는 거였구나!’라며 신이 났다. 키 큰 승려는 세 조각의 케이크를 본 후, 통통한 승려가 두 번째로 선택한 것이 자기 생각에 제일 마음에 들었고 그것을 선택했다. 
 
그러자 행인이 “통통 승려님, 지금 키 큰 승려가 두 번째로 당신이 선택한 케이크가 마음에 든다고 하는군요. 당신이 자른 케이크는 가져가지 않았어요. 그러니 당신은 당신이 베어낸 첫 번째 케이크를 반드시 선택해야 하네요. 당신은 방금 당신이 베어 낸 케이크가 제일 마지막 케이크보다 낫다고 생각했 으니 당신이 이 조각을 가진다 해도 어떤 불만도 없을 거 같네요.”라고 했다. 
 
통통 승려도 사실은 그리 생각했고 자신이 베어냈던 그 케이크를 가져갔다. 이후 행인은 이렇게 말했 다. “키 작은 승려님, 남은 조각을 가져가면 됩니다. 이 케이크는 당신이 직접 나눈 것이지요. 뿐만 아니라 당신은 세 조각 모두 크기가 똑같도록 나누었으니 당신도 어떤 불만이 없을 거예요.” 키 작은 승려는 곧장 마지막 남은 케이크를 가져갔다. 남은 케이크를 가져가던 키 작은 승려는 이렇게 말했다.
“잠시만요, 여기에 통통 승려가 잘라 낸 작은 조각이 남아 있어요. 이 조각의 크기는 작지만 낭비하는 것도 좋지 않아요.” 행인은 뭔가 알고 있다는 듯이 허리를 꼿꼿이 세우며 말했다. “맞아요, 그건 지금이 과정에서 잘라 낸 작은 조각이에요. 키 큰 승려님, 이리로 오세요. 이 조각을 공평하게 삼등분 해주 세요.” 키 큰 승려는 아주 조심스럽게 작은 조각을 세 조각으로 나누었다. 
 
그러자 행인이 이어서 말했다. “이번에는 통통 승려가 먼저 한 조각을 가져가세요.” 통통 승려는 자기 
 
- 5 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
마음에 드는 한 조각을 가져갔다. 그런 후에 행인이 다시 말했다. “키 작은 승려님도 와서 하나 고르세 요.” 키 작은 승려도 자기 마음에 드는 케이크를 선택했다. 최후에 키 큰 승려가 남은 조각을 가져갔다.
행인은 덧붙여 이렇게 마무리했다. “좋아요, 케이크는 모두 나누었고 세 분 모두 만족하시죠?” 세 명의 승려는 마음속으로 계산하기 시작했다. 
 
‘① 통통 승려의 생각 - 제1라운드에서 내가 가져가서 조금 베어냈던 그 케이크는 키 큰 승려가 가져간 케이크와 크기가 같아. 그리고 키 작은 승려 것과 비교해도 내 것이 더 마음에 들어. 제2라운드 때도 내가 제일 먼저 선택했잖아. 그러니까 키 큰, 키 작은 승려가 가져간 것보다 당연히 크지. 그래서 나는 조금의 불만도 없어. 마음에 들어! ② 키 큰 승려의 생각 - 제1라운드에서 내가 첫 번째로 선택 했고, 그러니까 통통, 키 작은 승려 것보다 내 것이 당연히 크지. 제2라운드에서는 내가 케이크를 나눴잖아. 내가 똑같이 삼등분한 거니까, 나는 마음에 들어. 두 번의 과정에서 나는 분명히 두 명의 것보다 큰 조각을 가져갔어. 난 결과에 만족해. 
 
③ 키 작은 승려의 생각 - 제1라운드에서 나는 내가 자른 것을 가져왔어. 이 케이크는 키 큰 승려의그 케이크와 크기가 같아. 그런데 통통 승려가 베어내어 가져갔던 그 케이크보다도 조금 많아. 제2라운드에서 나는 키 큰 승려보다 먼저 선택했어. 그러니까 당연히 내가 키 큰 승려보다 더 큰 조각을 가져왔어. 만약 내 것과 통통 승려의 것을 비교해야 한다면 통통 승려는 내가 처음에 잘랐던 1/3을 가져 갔어야 해. 잘라 낸 그 작은 조각은 나와 키 큰 승려도 조금씩 더 나눠 가졌잖아. 그래서 통통 승려는 결국 내가 제1라운드에 가져간 것에 미치지 못해. 나는 통통 승려에 비해 많이 가져왔어. 그래서 이번 케이크를 나눈 것에 매우 이익을 봤지.’ 
 
결론은 세 승려 모두 자기가 가진 것이 다른 사람 것에 비해 적지 않고 많다고 여겼다. 그래서 세 승려 모두 만족했고 행인도 아주 원만하게 문제를 해결하게 되었다! 이상 케이크를 공평하게 나누는 이야기는 셀프리지-콘웨이 분할 절차를 재구성한 것이다. 좀 더 부연 설명을 하자면, 이 이야기는 모든 가능한 선택을 보여주지는 않지만 이미 전체 과정을 설명하기에 충분하다. 이 절차는 ‘질투 없는’의 목표가 실현가능하다는 것을 보여준다. 즉 최종적으로 분석할 때, 각 승려는 각자의 주판을 두드리며 계산했고 어느 누구도 다른 사람의 것보다 적다고 생각하지 않았다(오히려 자신의 것이 크거나 같을 것이라고 예상했다). 당신은 이 방법이 4명 이상인 상황에서도 확대적용 가능한지 궁금하지 않은가? 
 
1990년대에 사람들이 발견한 네 명 또는 그 이상의 공평분배 방법은 모두 무한 분할 절차를 밟아야 한다. 혹자는 좀 더 정확하게 ‘질문 절차’라고 말한다. 이것은 케이크를 나누는 사람에게 질문-어느 부분을 원하느냐, 무엇을 가져가는 게 제일 좋겠느냐 등-을 해나가는 것이다. 케이크 공평분배문제에서 ‘질문’은 가장 중요한 절차이다. 왜냐하면 매 번의 질문으로 한 번의 칼질이 결정되기 때문이다. 뿐만 아니라 만약 연속적으로 케이크를 얻어야 한다면 명이 있을 때, 최대 -1번의 칼질이 필요하다. 그래서 분할방법이 좋은지 아닌지는 ‘질문’의 횟수에 따라 결정된다. 
 
90년대 말에 이르러 다양한 분할방법이 발견됐지만 이 방법들은 모두 무한 번의 질문 절차가 필요하다. 2000년부터 2010년까지 10년 동안 사람들은 케이크를 연속적으로 요구하는 또는 요구하지 않는 경우, 질문횟수의 하한을 연구했다. 만약 끊임없이 연속된 케이크라면 이 하한 또한 무한히 클 것이다.
즉 질문횟수를 제한하는 방법만으로 모두가 만족하는 연속된 케이크를 자르지 못했다는 것을 증명했다.
오랜 시간 동안 사람들은 연속된 케이크의 상황에서 유한분할절차가 있는지를 고민했다. 우리는 하한 
 
- 6 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
이 존재한다는 것은 알지만 상한(上限)에 대해서는 알 수가 없었는데, 2016년에 비로소 두 명의 오스 트레일리아 연구자에 의해 의문이 해결되었다. 네 명 또는 그 이상일 때, 결과가 완전한 경우를 요구 하지 않는 문제에 대해서 하나의 상한만 가진다. 이 상한 숫자는 매우 신기하다 : 
 
이 숫자는 당연히 예상하기 힘들 정도로 크다. =2라고 하더라도 일반 컴퓨터가 정확하게 계산하기 힘든 숫자이다. 그러나 어떤 모양인지와 상관없이 이 문제의 상한이 있다는 것을 알려준다. 이 사실은 한계를 극복할 수 있는 중요한 사실이다. 어쩌면 이후에 어떤 사람이 더 작은 상한 혹은 더 큰 하한을 발견할지 모른다. 현재로서는 상한과 그것의 하한의 차이가 너무 많이 난다는 사실만 알 뿐이다. 
 
우주는 어떤 수로 표현할 수 있을까? 
 
신비로운 0.577 - 오일러 마스케로니 상수 수학에서 유명한 상수는 무엇일까? 자연상수( ), 파이( ) 말고 번뜩 떠오르는 것이 있을까? 나 만큼 유명하지는 않지만 흥미로운 수, 오일러 마스케로니 상수에 대해서 알아보려고 한다. 신비롭기까지 한이 수에 대해 언급하기에 앞서 응용문제를 먼저 다루어보자. 
 
[문제] 한 마리 개미가 있다. 고무 고리 위의 어느 지점에 머물고 있는데, 고무 고리의 초기 둘레는 1m이다. 개미가 1초에 1cm의 속도로 이동하기 시작하면 고무 고리는 1초 후에 1m씩 일정하게 둘레가 늘어난다. 다시 말하면 1초 후에 고무 고리의 둘레는 2m, 또 1초 후에는 3m로 변한다. [질문] 이개미가 고무 고리를 한 바퀴 도는 것이 가능할까? (이 개미는 처음 위치로 돌아올 수 있을까?) 
 
어떻게 생각하는가? 과연 완전히 한 바퀴를 도는 것이 가능할까? 정답은 가능하다. 만약 믿지 못하겠 다면 다음의 계산을 보자. 처음 1초에는 고무 고리 둘레는 1m이고 개미는 1cm 이동한다. 그러면 개미는 총 둘레의 1/100을 이동한 셈이다. 2초가 되면 고무 고리 둘레는 2m이고 개미는 1cm 이동한다.
고리가 일정하게 늘어나는 이유로 개미는 총 둘레의 1/200을 이동하게 된다. 그러면 3초일 때는 총 
 
둘레의 1/300을 이동한다. 이런 식으로 유추하면, n초 후, 개미의 총 이동거리는 + + + 
 
…+ 이다. n의 값을 계속 증가시킬 때, 위 수열의 합은 얼마가 될까? 수열에서, 분모의 공통 
 
인수 1/100로 묶어내면 x (1+ + + +…+ )임을 알 수 있다. 이때 괄호 안의 급수는 자연수의 역수 합으로 수학에서 ‘조화급수’라고 부른다. 항의 수가 충분히 많을 때, 조화급수가 발산한 다는 결론을 알고 있는 이도 있을 것이다. 하지만 이 급수의 개항의 합은 임의의 큰 값으로 개미이동 문제에서 괄호 안의 조화급수 값이 100이 되면 개미는 고무 고리를 완전히 한 바퀴 도는 것이 가능하고 원래 지점으로 돌아올 수 있다. 이 문제의 결론을 처음 접했을 때, 나는 놀랐다. 이것은 직관과 맞지 않기 때문이다. 문제는 매번 고무 고리가 늘어날 때마다 개미가 이동한 거리도 늘어나야 한다. 전체적으로는 이동거리가 점점 증가하고 있지만 실제로는 굉장히 느리게 갈 뿐이다. 만약 ‘모든 자연수의 역수 합이 발산한다’에 의심이 든다면 다음과 같은 증명과정을 한번 감상하길 바란다. 
 
- 7 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
‘1+ + + +…=1+( )+( + )+( + + + )+( +…+ )+…>1+( )+( + )+( 
 
+ + + )+( +… )+…=1+ + + +…’ 이 증명은 ‘비교판정법’이라고 불리는 방법을 이용했다. 조화급수의 항을 더 작은 어떤 항으로 바꾸어서 다른 수열을 만들고 그 결과들의 급수를 확인하면 여전히 발산한다. 이것은 조화급수가 발산한다는 것을 확실히 보여준다. 설령, 좀 더 줄여도 여전히 발산한다. 그러면 조화급수의 항 합은 도대체 얼마인지 궁금할 것이다. 빨리 계산할 수는 없을까? 답은 조화급수의 항 합은 대략 ln ( :자연수)이다. 미적분을 공부한 독자라면 ln 의도함수가 1/ 이기 때문에 이해할 수 있을 것이다. 
 
조화급수의 합은 함수 =1/ 이 곡선과 축 사이( =1부터 = 까지)의 면적과 같다. 이 면적은 ln -ln1=1n 이다. 이로써 개미가 고무 고리를 완전히 한 바퀴 도는 데 필요한 시간은 조화급수의 부분합이 100보다 크게 될 때이므로 ‘ln ≥100, ≥e 100 ’ 따라서 약 100 초로 대략 10 36 년이 걸린다. 이 시간은 우주상에 존재하는 시간(일반적으로 우주역사는 10 11 에 해당하는 수량이다)을 훨씬 초과한다. 그래서 개미가 한 바퀴 도는 것이 불가능하다는 당신의 직관은 충분히 이해가 된다. 인류가 이해하기 힘든 정도로 많은 시간이 걸리기 때문이다. 
 
조화급수의 전반부 개 항의 합이 ln 에 가까워진다면 결국 ln 과 같아질 수 있을까? 아니면 ‘임의의 작은’과 ‘충분히 큰’ 이 두 개의 표현을 빌려, 이 충분히 클 때, 조화급수의 전반부 개항의 합과 ln 사이의 차이는 임의의 작은 값일까? 정답은 ‘아니다’. 그러나 그 값들 사이는 유한의 차잇값이 존재하 는데, 이 차잇값이 바로 본 절의 주제인 ‘오일러 마스케로니 상수’이다. 만약 이 차잇값을 이미 아는 상수, 예로 나 를 써서 표현했다면 그렇게 신비스럽진 않았을 것이다. 하지만 이 수는 확실히 독립 적인 새로운 수이다. 게다가 정의도 이렇게 간단하다. 만약 그래프에서 설명한다면 그것은 =1/ 곡선과 자연수 ‘히스토그램’으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 이것은 일찍이 오일러가 발견한 것으로 그는 소숫점 아래 16자리까지 개선했다. 1790년에 이탈리아의 마스케로니가 소수점 아래 32자리까지 계산했으나, 아쉽게도 이후에 세 자릿값이 잘못 계산된 것이 확인되었다. ‘오일러 마스케로니 상수’는 이렇게 생겼다. ‘ =0.5772156649015328606065120900824024310421…’ 
 
지금은 컴퓨터를 이용하여 이 값을 소수점 아래 100억 자리 이상까지 계산했다. 하지만 지금까지 순환 하는 흔적을 찾지 못했다. 아마도 무리수일 가능성이 큰 거 같다. 수학자들도 보편적으로 무리수일거 라고 예상했지만, 지금까지 증명한 사람은 아무도 없었다. 이런 점이 이 수를 더 신비하게 만든다. 
 
이 상수를 더 잘 이해하기 위하여 앞의 개미이동문제를 다시 생각해보겠다. 고무 고리가 매 1초 후의 결과로 둘레의 길이가 1m 늘어나는 것이 아니라, 매초 1m의 속도로 일정하게 둘레의 길이가 늘어난 다면 개미이동시간은 아주 조금 줄어들 수 있다. 이유는 매초 일정하게 고무 고리가 늘어날 때 개미의 이동거리는 1초 후에 고무 고리가 늘어날 때 값보다 더 크기 때문이다. 그러면 개미가 충분히 긴 시간 이후에 이동한 거리는 원래 이야기에서 값보다 약 0.577% 더 크다. 비록 비율은 매우 적으나 절대적인 시간차는 엄청날 수 있다. 마지막으로 조화급수의 확장에 대해서 이야기해보자. 앞에서 언급한 조화급수가 발산한다는 것은 분명하다. 급수에서 많은 항을 빼더라도 여전히 그 급수는 발산한다. 사람 
 
- 8 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
들을 놀라게 하는 것은, 오일러가 모든 소수의 역수 합이 발산한다는 것도 증명했다는 것이다. 다음과 
 
같은 공식이 있다. ‘ + + + + +…+ ?lnln(p)’ 
 
자연수에서 소수의 개수는 매우 적은데 거의 모든 자연수는 합성수이다. 그런데 조화급수에서 절대적 으로 많은 수를 차지하는 합성수의 역수 합을 제거한 후에도 발산했지 않은가. 그렇다면 개미이동문제를 이용한 설명에서 고무 고리가 매초 1m씩 늘어나는 것이 아니라, 매초가 지난 후에 길이가 2m, 3m, 5m, 7m, 11m… 이런 식으로 소수값만큼 늘어난다고 할 때에도 개미는 원래 위치로 돌아오는 것이 가
능하다. 개미가 돌아오는데 걸리는 시간이 대략 이긴 하지만 말이다. 이 가여운 개미를 놔주는 게좋을 거 같다. 
 
유사한 것으로 소수 역수의 합과 lnln 사이의 차이를 또 다른 상수로 이끌어낼 수 있는데 ‘메셀-메르 텐스 상수(Meissel-Mertens constant)이다. 여기까지의 내용에서 자연수 제곱의 역수합과 세제곱의 역수합이 모두 수렴한다고 믿고 싶을 것이다. 예를 들어 자연수 제곱의 역수합은 유명한 ‘바젤문제(Basel 
 
problem)’이다. ‘ = + + + +…= ?1.644934’ 자연수 제곱의 역수합은 수렴하고 소수의 역수합은 발산하는 것으로부터 소수는 제곱수보다 ‘훨씬’ 많다는 것을 알 수 있다. 그래서 어떤 사람은 제곱수 사이에 적어도 하나의 소수가 존재할 것으로 추측 한다. 하지만 이런 추측도 여전히 증명되지 않았다. 
 
수학에도 위기가 있었다니! 
 
이 명제는 증명이 없다 - 괴델의 불완전성 정리 많은 사람이 ‘괴델의 불완전성 정리’에 대해 알고 있지만, 그것을 어떻게 증명하는지 이해하기는 어렵다. 그래서 나는 당신들에게 증명의 사고 과정을 언급하려고 한다. 먼저 ‘괴델의 불완전성 정리’가 무엇인지 짚고 갈 필요가 있는데, 이 정리에는 2가지가 있다. 제1불완전성의 정리는 임의의 충분히 복잡한 공리계에서 만약 그 체계가 ‘무모순적’이라면 이 공리계에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 적어도 하나 존재한다. 무모순적이라는 뜻은 공리계에서 서로 모순인 결과를 추론할 수 없는 것이다. 만약 공리계가 참과 거짓을 동시에 증명한다면, 이 공리계는 혼란스러워질 것이다. 이것이 괴델의 2가지 불완전성정리 중, 그나마 잘 알려진 하나이다. 여기서 말하는 충분히 복잡한 공리계라 함은, 사실은 그정도로 어렵지 않다. 자연수의 덧셈연산과 곱셈만 있으면 된다. 잠시 후 이유를 같이 보자. 
 
제2 불완전성 정리는 임의의 충분히 복잡한 공리계는 모두 자기가 무모순적이라는 것을 증명할 수 없다는 것이다. 즉, 자기를 증명할 수 없는 것은 서로 모순인 명제를 추론할 수 없다는 것이다. 이것은 사람을 괴롭게 하는 결론 아닌가? 그러나 그것과 비슷한 표현인 ‘만약 충분히 복잡하고 충분히 강한 공리계가 스스로 무모순인 것을 증명할 수 있다면, 즉 그것은 분명히 모순적이다’는 사람을 더 공포스 럽게 한다. 이 표현은 정말 말하기도 어렵게 들리지만, 천천히 이해해보자. 
 
이 2가지 불완전성 정리는 마치 수학은 항상 결함이 있다고 말하는 것 같다. 하지만 이것은 수학에 대해 더 큰 존경심을 가지게 한다. 왜냐하면 그것은 스스로 어디까지 문제를 해결할 수 있는지를 증명하 
 
- 9 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
기 때문이다. 이것은 다른 과학 분야에서는 할 수 없는 것이다. 게다가 2가지 정리의 철학적 가치 또한 지극히 숭고하다. 괴델의 제1종 불완전성 정리의 증명은 가장 간단한 해석을 이용하려고 한다. 바로 괴델이 만든 ‘이 명제는 증명될 수 없다’는 명제이다. 이 문장에서 ‘이 명제’는 바로 이 문장 자신이다! 괴델의 이 명제를 처음 접했을 때 매우 궤변처럼 느껴졌을 것 같다. 
 
수학에서 이런 명제는 말장난 같다고 생각했을 수도 있다. 게다가 명제에는 ‘무엇을 증명할 수 있다’ 또는 ‘무엇을 명제라고 불러야 하는지’에 대한 정의가 없다. 믿고 싶지 않겠지만 이런 명제는 수학에 존재할 수 있고 의미도 있다. 증명의 기본 생각은 ‘명제는 모두 수열이다’라는 것이다. 즉 임의의 명제는 모두 하나의 숫자로 코드화할 수 있고 또한 자연수로 표현된다. 어떻게 하면 될까? 가능한 방법은 영어단어 혹은 중국어단어를 하나의 숫자에 대응시킨다. 예를 들어 만약 덧셈 기호(+)를 ‘100’으로 표시하면 1+1은 11001로 코드화된다. 그러나 이렇게 11001로 표시하는 것은 아무래도 좀 곤란하니 방법을 수정할 필요가 있다. 다음에서 괴델의 방법을 살펴보자. 
 
먼저 우리는 수학기호를 모두 숫자로 코드화할 수 있다. 그리고 제한적으로 필요한 숫자를 코드화한다면 앞에서와 같이 모든 자연수를 사용하는 상황을 피하게 된다. 사실 수학에서는 자연수를 정의할 때, 숫자 0과 후속 연산을 정의하면 된다. 1은 0의 다음 수, 그러면 우리는 후속연산을 하나의 숫자로 재코드화하면 되는 것이다. 
 
이렇게 자연수는 2가지 숫자만 있으면 바로 표현된다. 예로, 코딩시스템에서 0의 코드는 1이다. 0의코드가 왜 0이 아닐까? 사실 코딩시스템에서 0은 하나의 기호이다. 우리의 목적은 모든 기호를 숫자로 대응시키는 것이다. 그래서 0을 1로 코드화할 수 있다. 등호 ‘=’은 2로 코드화한다. ‘+’은 3으로 한다.
0=0을 표현하면 우리의 코딩시스템에서는 바로 121이 된다. 0+0=0은 13121이다. 적합하게 코드를 부여하기만 하면 모든 수학명제는 일련의 숫자로 표현될 수 있다. 그러나 다음에 ‘명제는 모두 수열이다’ 라고도 부를 수 있다. 왜냐하면 우리는 모든 명제를 하나의 수열로 표현했기 때문이다. 기쁜 것은 명제와 수열이 일대일대응이라는 것이다. 
 
지금까지 문제를 해결하기 위한 첫 한 걸음을 뗐다. ‘명제는 모두 수열이다’라는 괴델의 전제에서, 모든 수열이 하나의 특정 자연수로 대응된다고 추측된다. 그러나 만약 두 명제가 대응한 수열이 각각 
 
12345와 012345라면 같은 자연수로 대응된다고 할 수 있다. 괴델이 고안한 교묘한 방법을 함께 보자.
어떤 수열에 대해서, 소수수열을 생각해보자. 수열에서 각 수는 소수수열에서 각 수의 지수라고 하자.
그런 후 서로 곱하면, 바로 하나의 특정 자연수를 얻을 수 있다. 
 
예를 들어 앞에서 이미 0=0은 코드 121로 바뀐다. 모두 3개의 수이다. 소수수열에서 앞 3개의 소수는 2, 3, 5라는 것을 알고 있다. 그러면 바로 2 1 3 2 5 1 =90을 얻는다. 이것이 우리가 필요한 수이다. 다시 예를 들면, 앞에서 0+0=0 이 명제가 대응하는 수열은 13121이다. 모두 5가지 수이다. 앞에서 5개 소수는 2, 3, 5, 7, 11이다. 즉, 대응하는 자연수는 2 1 3 3 5 1 7 2 11 1 =145530이다. 
 
수열을 자연수로 전환하는 괴델의 방법에서 큰 특징은 ‘일대일대응’이다. 수열은 항상 유일한 하나의 자연수로 전환된다. 자연수도 유일한 수열에 대응된다. 자연수의 소인수분해 방법이 유일하기 때문이다. 이 방법은 자연수를 ‘낭비’하고 많은 자연수가 대응하는 수열은 다시 기호수열의 결과로 재전환되 는데 이것이 의미가 없다고 느낄지 모르겠지만 나는 그렇게 생각하지 않는다. 관건은 우리가 수학명제 
 
- 10 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
를 자연수로 일대일 대응시켰다는 것이다. 우리는 또 모든 명제의 증명도 일련의 수학기호의 나열이라는 것을 발견한다. 그러면 이런 방법으로 증명과정을 하나의 자연수로 전환할 수 있다. ‘명제의 증명과 정’과 ‘명제’는 명확한 경계가 없다. 당신은 ‘증명’이 명제의 나열일 뿐이라고 여길 수 있다. 
 
종합하면, 괴델은 모든 명제와 증명과정을 모두 하나의 자연수로 코드화하는 방법을 정의했다. 그리고 이런 숫자는 ‘괴델 수’라고 부른다. 하나의 명제가 숫자가 되면 처리할 수 있는 것이 많다. 여기까지에서 괴델의 불완전성 정리는 무엇 때문에 충분히 복잡한 공리계를 요구하는지 발견했을 것이다. 그 이유는 우리가 괴델 수를 사용하려면, 최소한 자연수와 덧셈 연산과 곱셈을 정의해야 한다는 것이다. 
 
더 재미있는 게 있다. 우리는 먼저 증명될 수 없는 명제 하나를 라고 부르겠다. 이 명제의 완전한 표현은 ‘ 는 어떤 명제의 괴델 수라고 하겠다. 다른 괴델 수 는 존재하지 않는다. 에 대응하는 명제는의 하나의 증명이다.’ 이해를 위해 생각할 시간이 필요하다. ‘증명될 수 없는 ’ 자신은 하나의 명제이고 는 또 다른 하나의 명제가 대응하는 괴델 수이다. 이 명제의 의미는 두 구체적인 숫자의 관계에 있다. 즉, 괴델 수 와 의 관계이지 어떤 문자열이 아니다. 이어서 ‘대각선 보조정리(diagonal lemma)’라고 부르는 난해한 정리 하나를 사용하려고 하는데, 칸토어의 대각선논법(diagonal argument) 과 매우 유사하다. 과정은 일련의 숫자를 세로방향으로 나열한 다음 위에서 아래 방향으로 숫자를 하나씩 택하면 대각선 방향을 따라 하나의 새로운 숫자가 생산된다. 집합론이나 이산수학을 공부할 때이런 논증이 매우 인상적이었다. 고급수학에서도 이런 방법으로 반례를 구성한다. 
 
이 보조정리를 이용하는 목적은 ‘명제의 내용이 자신을 향하는’ 명제의 존재를 증명하는 것에 있다. 앞의 ‘증명될 수 없는 ’ 명제로 돌아가면, 우리는 이 명제를 몇 가지 구체적인 수치를 대입하여 사용한다. 예를 들어 12345는 어떤 명제의 ‘괴델 수’이고 또 다른 괴델 수 는 존재하지 않는다. 로 하여금 대응하는 명제는 괴델 수 12345가 대응하는 명제의 증명이다. 이 명제는 문제가 없는 것처럼 들린다.
그러나 재미있는 부분은 앞에서 자신도 하나의 명제라는 표현에서 그것도 ‘괴델 수’가 될 수 있다. 만약 그것의 괴델 수가 12345로 계산되었다면 어떻게 할 수 있을까? 그러면 원래 명제는 바로 수정될수 있다. 12345는 원래 명제의 ‘괴델 수’이고 또 다른 괴델 수 는 존재하지 않으며 로 하여금 대응 하는 명제는 원래 명제의 증명이다. 
 
자, 그럼 검산을 해보자. 원래 명제의 ‘괴델 수’는 확실히 12345(대각선 보조정리에서 ‘명제의 내용이 자신을 향하는’ 명제의 존재성이 확보되었다)이다. 와! 당신은 ‘불완전성정리’가 필요한 명제를 증명했다. 상술한 명제에서 만약 그것이 거짓명제라면, 12345가 대응하는 명제의 증명은 하나의 ‘괴델 수’가 된다는 것이다. 그러면 그것은 12345와 대응하는 명제 자신의 내용에 모순이 된다. 12345가 대응하는 명제 자신은 증명될 수 없기 때문이다. 그래서 당신은 12345가 대응하는 명제는 증명이 없다는 것을 수용할 수밖에 없다. 게다가 그것은 참인 명제다. 여기에 보충하자면, 위에서 말한 ‘증명’은 거짓을 증명하는 것을 포함한다. 반례 명제를 증명하는 것도 일종의 증명이기 때문이다. 여기까지 불완전성 정리 증명이었다. 어찌되었든 한 문장으로 말하고 싶다. 이 명제는 증명이 없다. 
 
수학적으로 세상을 수학하라 
 
수학의 3대 상에 대해 수다 떨기 - 필즈상, 울프상, 아벨상 
 
- 11 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
가장 오래된 필즈상은 국제수학자연맹(IMU)이 4년에 한 번씩 여는 국제수학자대회에서 공포한 상이다.
1920년대 말, 노벨상은 이미 10년 이상 존재해왔다. 필즈는 수학자로서 수학계에도 유사한 상이 있기를 바랐다. 그는 1920년대 말부터 이 상을 준비하여 필즈상 재단을 설립했지만, 1932년 그가 병으로 사망할 때까지 이 상은 수여되지 못했다. 필즈는 유언을 남기고 약 1000만 원을 이 상에 기금으로 기부했다. 그리고 4년이 지난 1936년에 제10회 국제 수학자 대회에서 마침내 이 상이 수여되기 시작했다. 노벨시상식이 열리는 곳이 스웨덴인데, 마침 1936년 국제수학자대회가 스웨덴의 이웃 노르웨이에서 열렸기 때문에 자연스레 수학계의 노벨상으로 여겨졌다. 그러나 필즈상과 노벨상의 차이는 분명하다. 우선 국제수학자대회는 4년마다 열리기 때문에 필즈상도 4년마다 주어지며, 수상자 연령은 40세이하로 제한된다. 이 나이 제한의 목적 중 하나는 당연히 젊은이들을 격려하는 것이다. 
 
보통 수학 증명이 발표된 후 최대 2~3년 동안 충분히 많은 사람들이 읽고 검증을 한 후에 수학자는 자신의 증명이 성립되었다고 공인한다. 또한 많은 수학자들이 젊은 나이에 아주 중대한 성취를 거두고, 이런 추세가 점점 더 뚜렷해지기 때문에 이 40세라는 ‘문턱’을 설치한 것은 이상하지 않다. 필즈상 수상자는 2018년까지 미국인이 13명으로 가장 많으며 프랑스인이 11명, 러시아가 9명이다. 안타깝게도 한국 수학자들이 아직 명단에 오르지 못했다. 
 
다음으로 울프상에 대해서 이야기하겠다. 1887년 울프는 독일의 한 유대 가정에서 태어났으며 그는 모두 14명의 형제자매가 있었다. 1차 세계대전 전에 울프 가족은 쿠바로 이민을 갔다. 이것은 그의 가족 에게 매우 중요한 결정이었다. 그렇지 않았다면 제2차 세계대전 당시 그들의 운명은 비참할 수도 있었다. 이것이 그의 인생의 첫 전환점이었다. 쿠바의 제철 공장에 다년간 근무한 후, 울프는 총명한 재능과 연구 정신으로 제련 과정에서 철을 회수하는 공정을 개발하여 특허를 출원했고, 그것은 그에게 상당한 수입을 가져다주었다. 이것은 그의 인생의 두 번째 전환점이다. 
 
이어 쿠바 혁명으로 카스트로가 등장했는데, 울프는 카스트로를 지원했고 혁명이 성공하여 카스트로가 집권했다. 카스트로는 당연히 그에게 매우 감사해 했으며 그를 이스라엘 주재 쿠바 대사로 임명했다.
이것은 그의 인생의 세 번째 전환점이었고 그 해는 1961년 울프는 74세였다. 그러나 그의 전설은 아직 끝나지 않았고 뒤에 또 한 번의 전환이 있었다. 1973년에 쿠바는 이스라엘과 단교한다. 울프는 이스라엘에 계속 머무르기로 선택했고 이스라엘 국적을 취득하여 1981년까지 지내다 생을 마감했다. 
 
울프 생의 마지막 8년 그는 또한 이스라엘의 대표 엘리트가 되었다. 그리고 울프는 삶의 마지막 몇 년동안 이스라엘 국적을 취득한 후 울프 재단을 설립하여 울프상을 수여하기 시작했다. 이것은 그의 인생의 네 번째 전환이다. 울프상은 노벨상과 비슷한 종류의 상으로, 여기에는 수학, 농업, 화학, 물리학, 의약 그리고 예술이 포함된다. 울프 수학상은 1978년부터 매년 1회씩 나이 제한 없이 1~2명씩 수상 한다. 때로 공석이 생기기도 한다. 참고로 2017년 수상자는 미국 수학자 찰스 퍼브먼과 리처드 셔인이다. 울프상을 수상한 중국계 수학자로는 천성신 교수와 구성동 교수가 있다. 
 
3개의 상 중에서 후발주자인 ‘아벨상’에 대해 알아보자. 아벨이라는 이름은 수학의 역사에 대해 잘 아는 사람이라면 틀림없이 익숙할 것이다. 그는 노르웨이의 수학자로서 ‘5차 방정식의 일반적인 근의 공식은 존재하지 않는다’를 처음으로 해결했다. 사람들은 아벨을 갈루아와 함께 자주 언급하는데, 두 사람의 활동 연대가 비교적 가깝고 또 모두 이른 나이에 생을 마감했다는 공통점이 있기 때문이다. 
 
- 12 - 이토록 재미있는 수학이라니 
 
1899년 아벨 탄생 100여 주년이 되었을 때 노르웨이의 수학자 소피스 리는 아벨상 설치를 제안했다. 
 
소피스 리는 당초 노벨이 수학상을 설치할 준비가 되어 있지 않다는 말을 들었을 때, 약간의 불만을 가졌고 노르웨이 정부에 아벨이라는 이름으로 수학상을 설립할 것을 제안했다. 그러나 소피스 리의 제안은 여러 가지 이유로 당시 채택되지 않았고, 100년의 시간이 흘렀다. 이후 아벨의 200번째 생일인 2001년에 이르러서 노르웨이 정부는 다시 이 일을 생각하게 된다. 노르웨이 크로나로 2억 원의 자금이 보였고 2003년부터 이 상을 시상하기 시작하였다. 
 
이것은 수학상에서 후발주자이지만 상금이 가장 많으며, 매년 상금이 대략 백만 달러로 1~2명의 상금에 해당한다. 이는 노벨상 상금과 거의 비슷하다. 아벨상은 매년 9월 15일까지 지명되어 이듬해 3월에 수상자를 발표한다. 2017년 아벨상 수상자는 프랑스인 이브 메이어로 소파 분석 이론에 기여한 공로를 인정받아 수상했다. 메이어는 또한 네 번째로 아벨 수학상을 수상한 프랑스의 수학자로서 이것은 프랑 스의 아벨상 수상 건수가 전 세계에서 두 번째로 많은 것을 가능하게 했다. 프랑스의 필즈상 수상자도전 세계에서 두 번째로 많은 상을 받았으며, 미국에 이어 프랑스의 두터운 수학 전통을 잘 보여주고 있다. 중국에 아벨상을 수상한 수학자가 아직 없다는 게 아쉽다. 
 

 
- 13 - 이토록 재미있는 수학이라니